李瑞华 (江苏省南京市六合区程桥高级中学 211504)

王安寓 (江苏省南京市六合区实验高级中学 211500)

临近高一上学期期末，高一年级数学组组织教师编撰了3套高一数学上学期期末模拟试卷，其中选了一道高难度的函数恒成立问题(题目1)作为第3套试卷的压轴题，同时，题目1也是2018—2019年度南京市高一上学期期末统考试题的第20题(试卷压轴题)．笔者在独立解答时发现，题目1存在瑕疵．下面，笔者将对题目1的疑惑整理成文，与读者交流．

1 题目呈现，简要分析

题目1(2018—2019南京高一上期末试卷)给定区间I，集合M是满足下列性质的函数f(x)的集合：任意x∈I，f(x+1)>2f(x)．

(1)已知I=R，f(x)=3x，求证：f(x)∈M；

(2)已知I=(0,1]，g(x)=a+log2x，设g(x)∈M，求实数a的取值范围；

(3)已知I=[-1,1]，h(x)=x2+ax+a-5(a∈R)，讨论h(x)与集合M的关系．

标准答案 (1)f(x+1)-2f(x)=3x+1-2×3x=3x>0，故f(x+1)>2f(x)，从而f(x)∈M．

(3)若h(x)∈M，则当x∈[-1,1]时，h(x+1)>2h(x)恒成立，即-(x+1)2+a(x+1)+a-5>2(-x2+ax+a-5)恒成立，即x2-ax-2x+4>0恒成立．记H(x)=x2-ax-2x+4，x∈[-1,1]．

综上，-7

所以，当-73时h(x)∉M．

第(1)问的求解是正确的．由于f(x)=3x的定义域是R，所以f(x+1)的定义域也是R，问题转化为对任意的实数x，f(x+1)>2f(x)恒成立，用比较中的最基本方法——作差法求解即可(标准答案中正是如此求解)．

第(2)(3)问的求解，笔者认为是存在瑕疵的．先从形的角度对第(2)问作简要分析．

作出y=g(x),y=g(x+1),y=2g(x)的图象，我们从图象上观察，研究y=g(x+1)与y=2g(x)的函数值的大小关系．

对于不等式g(x+1)>2g(x)，有两种不同的思考切入点．①g(x+1)与2g(x)中的x不是同一个x，二者互不相干，即它们是两个自由的变量；②g(x+1)与2g(x)中的x是同一个x．

先看思考切入点①．g(x+1)与2g(x)中的x不是同一个x，两个x是自由的量，没有关系，那么g(x+1)>2g(x)，就相当于g(x1+1)>2g(x2)对任意的x1,x2∈(0,1]都成立．由恒成立的知识知g(x1+1)min>2g(x2)max，反映到图象上，y=g(x+1)的图象的所有点都在y=2g(x)的图象的上方．我们知道，y=g(x+1)……