卓晓萍 (福建省莆田第二中学 351131)

蔡海涛 (福建省莆田第二中学 351131 福建教育学院数学教育研究所 350025)

1 试题呈现

(2021年新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC．

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

本题以三角形为载体，主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．

本题属解答题中的中档题.高考结束后，笔者随机访谈了部分学生，大部分考生解答此题时都抱有一种想尽快解答的应试心态，但由于紧张而“欲速则不达”，特别在第(2)问未能较快寻找到解决问题的突破口，最后虽然解出来了，但花费了不少的时间.

2 多视角剖析

又因为b2=ac，所以BD=b．

评注第(1)问要证明的是边的关系，已知条件含有边、角的关系，因此需要进行边角转化.再根据已知条件中含有∠ABC，∠C，故利用含有这两个角的正弦定理，后续的证明不难完成.

本题的难点在第(2)问，主要有以下视角.

视角1利用函数与方程思想，结合平行线性质，建立方程.

图1

方法1 如图1，过点A作直线BC的平行线AE，延长线段BD，与AE交于点E.因为AD=2DC，所以AE=2a，DE=2b.又∠ABC+∠BAE=π，所以cos∠ABC=-cos∠BAE.

利用本视角还可以有以下方法，碍于篇幅，本文只提供思路，具体解题过程不再赘述.

方法2 如图2，过点D作DG∥AB，利用∠ABC+∠DGB=π，cos∠ABC=-cos∠DGB构造方程.

图2 图3

方法3 如图3，过点D作DF∥BC，利用∠ABC+∠DFB=π，cos∠ABC=-cos∠DFB构造方程.

视角2利用化归与转化思想,结合角度关系，建立方程.

方法4 △ABD与△ABC有公共角A，则cos∠BAD=cos∠BAC.

整理得6a2+3c2=11b2，下同方法1.

本视角还可……