黄基松

摘要：通过绳、杆连接的两个物体之间的速度关联性是高中物理的一个教学难点。笔者将从数学的求导角度和速度瞬心法对速度和加速度关联问题进行分析，并且根据分析结果给出不同的教学方法和策略;同时，对于关联加速度提供了特殊状态下的例题供教学参考。

关键词：关联速度  关联加速度  数学求导  速度瞬心

在高中物理运动的合成与分解的教学实践中，关于连接体之间速度关联问题，一直是个难点。好在已经有很多老师在教学实践中对其进行了思考和总结。那么连接体间的速度到底满足什么样的数学关系？它的物理本质是什么？端点间的加速度沿着绳和杆方向的关系是怎样的，对我们的日常教学中有什么样的启发呢？笔者将一一提出自己的观点。

一、速度关联的介绍和教学现状

例题：如图1所示，在不同高度的两个水平面上分别放着物体甲和乙，且甲、乙两个物体间用一根不可伸长的轻绳连接。当绳子与水平方向成夹角为θ时，物体甲的速度v甲与物体乙的速度v乙满足什么关系呢？

在图1中，两个物体的速度v甲和v乙分别代表着绳的两个端点的速度。这两个物体通过一根绳子相关联，可以通过速度关系式，由一个物体（端点）的速度求另一个物体（端点）的速度，这两个端点的速度关系，就是所谓运动物体的关联速度问题。

但是在高中物理教学中关于两者速度之间的关系有两种表达方式：一种认为两个物体的速度关系满足v乙=v甲sinθ（如图2），给出的理由是绳端的速度在乙物体处可以沿着水平方向和竖直方向进行分解，水平方向的分速度等于乙物体的真实速度。另一种观点认为物体甲和物体乙的速度满足v甲=v乙sinθ（如图3），给出的理由是沿着轻绳方向的速度是相等的，否则绳子要么被拉长（不符合高中物理对轻绳的定义），要么被拉断，要么处于松弛状态（则两个端点就是孤立的，失去了关联）。

那么到底轻绳端点的速度会满足什么关系呢？人教版高中物理教材也没有相关的介绍，近些年的高考也很少考查这个知识点。因为这类问题实际上是刚体的平面运动问题。由于高中物理课程标准的限制，因此对于刚体问题讨论较少，但是不少辅导教材却出现了类似的题目，也有的老师对速度关系做了简单的介绍，可是对于加速度关系的介绍几乎没有。本文我们将从数学解析法和刚体运动速度瞬心法来讨论端点的速度关系，也从解析法和速度瞬心法来进一步讨论端点加速度的关系。

二、关联速度推导

（一）数学推导

可以将滑轮和滑轮在水平面的投影及物体乙的位置构建成一个三角形△OAB，如图4，AB的长度为h（为两个水平面的高度差且为固定值），BO的长度为L，AO的长度为x，在△OAB中，边长关系满足x=Lsinθ，此关系式中的x变化则L和角度θ也都跟着变化，所以此关系式对时间进行偏微分得到：dxdt=dLdtsinθ+Lcosθdθdt，式中dLdt=vL为绳端A点沿AO方向的速度，dθdt=w绳AO绕A点转动的角速度;dxdt=vx为绳端O点沿BO方向的速度，所以得到vx=vLsinθ+Lwcosθ，从表达式和图5可以看出O点的速度vx除了有沿AO方向的分速度vL，还有切线方向的分速度Lw，所以由几何关系可得：vL=vxsinθ。

（二）速度瞬心法推导

关于关联速度实际可以看作平面刚体的运动，利用速度瞬心法解决问题，在瞬间时可把它们看作刚体处理时，如图6所示，O′为刚体的瞬时转动中心，O′A=L1和OO′=L2为A点和O点绕O′点转动的瞬时半径，具有相同的角速度w，且w=vLL1=vxL2，sinθ=L1L2;所以也是：vL=vxsinθ。

其實，除了解析法和速度瞬心法，还有速度投影法，即轻杆或轻绳的端点的速度沿着轻杆和绳的方向的速度投影是相等的，如果不相等，要么轻杆和轻绳被拉断，要么轻杆被挤压变形，轻绳处于松弛状态，两个端点也就各自孤立，即vLcos0°=vxsinθ也能得到vL=vxsinθ。

（三）关联速度的教学建议

由于高一年级的学生还没有学习数学的求导知识，不会运用偏微分。但是这样的知识却在曲线运动的教学中出现了，怎样讲解才能让学生理解这样的速度关系呢？在具体教学中，我提供两种方案。

方案一：如图7所示，物体乙先绕A点转动到物体的虚线位置Q，再沿着轻绳AQ的方向运动到水平位置S处。

方案二：如图8所示，可以认为物体乙先沿绳的方向运动到虚线位置R，再绕A点转动到右边水平位置S处。

由于高中学生没有接受刚体知识的教育，因此让他们用速度瞬心法寻找关联速度的关系是比较困难的，但是对理解能力强一点的学生，可以让他们利用速度投影定理寻找关系，学生会更容易接受。

三、端点加速度关系的推导

那么两个端点A、O的加速度又有什么关系呢？这在高中物理中讨论得很少，在相关的教学论文中也是鲜有提及的。接下来我们也将从解析法和加速度瞬心方面进行讨论。

（一）数学求导

如图5，对关系式vL=vxsinθ的两边分别对时间进行求导：dvLdt=dvxdtsinθ+wvxcosθ：式中dvLdt=aL端点A沿AO方向加速度，dvxdt=ax端点O沿BO方向加速度，又因为vx=hwcos2θ，从而得到两个绳端点沿着切线方向的加速度关系：aL=axsinθ+v2xcos3θh。

（二）加速度瞬心法

由于AO可看作是刚体，当刚体运动到如图9所示的位置时，端点O点的速度Vx方向沿着BO方向，端点A的速度VL方向沿着AO方向。过A点和O点分别作AO方向和BO方向的垂线，两垂线的交点为O′，即为刚体AO的运动瞬心，图中L1和L2则分别为A点和O点绕着O′转动的瞬时半径。两点沿着各自的瞬时半径方向的瞬时加速度叫作法向加速度分别为aLn=v2LL1和axn=v2xL2;A点和O点的切向加速度分别为：aLτ和axτ。由于法向加速度沿着A方向的分量产生的相对加速度和切向相对加速度是相等的，即：aLτ-axτsinθ=aLncos90°-（l-axncosθ）;由图中的几何关系可知：L2cos2θ=Lcosθ=h;整理可得：aLτ=axτsinθ+axncosθ;aLτ=axτsinθ+v2xcos3θh此式中aLτ与解析法中aL是等价的，axτ与ax也是等价的，至此可以发现利用速度瞬心法也可以求出两个端点沿着速度方向的加速度关系。下面就运用速度关系式vL=vxsinθ来讨论加速度的关系。