张广民 康玥 任倩

摘  要：以“概率与频率”一课为例，借助GeoGebra软件，设计了对频率与概率意义的直观认识、通过试验认识频率的稳定性、认识频率与概率的本质区别、通过软件模拟认识频率的稳定性和用频率估计概率的方法.在这个过程中，尝试通过新的技术和理念提升学生的数学建模、逻辑推理、数据分析等素养.

关键词：GeoGebra软件;频率;概率;探究与发现

人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》（以下统称“新教材”）第二册“概率”一章，与人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学3（必修）》（以下统称“旧教材”）“概率”一章来比，从小节安排，事件概念的引入、事件与事件的关系、概率的计算、概率的性质及频率与概率的关系都有较大的调整.

反思旧教材，对概率问题的研究对象是什么、研究的内容是如何想到的、基本概念是怎么抽象的、概率的性质是如何发现的等问题的重视程度不够，造成学生“知道是什么但不知道怎么想”;而新教材从概率的研究对象入手，始终围绕如何使学生获得概率的研究对象、如何发现概率的研究内容和方法等问题逐一展开探究，使学生通过具体的实际问题，能轻松地理解随机事件的概率、概率的性质及频率与概率等问题. 尤其是频率与概率这部分内容，旧教材将其融入“随机事件的概率”“概率的意义”当中，而新教材则将其作为本章的最后一节独立成节，更科学、更具体、更形象地讲解频率与概率. 更加突出“频率与概率的关系”这一内容的地位.

在这一节中，新教材分为“频率的稳定性”和“随机模拟”两个小节，都是通过具体实例贯穿全文. 在教学过程中，如果只是将新教材中的例子通过传统的讲解，很难达到理想的教学效果，而适当通过信息技术手段，让学生真正参与到模拟试验的过程中，才能使其感受到概率与频率的具体联系，有效提高学生的理解程度，进而提升他们的数学素养.

一、内容和内容解析

1. 內容

“频率与概率”是新教材必修第二册第十章第三节的内容，包含“频率的稳定性”和“随机模拟”两个小节，是在学习了第九章“统计”，以及第十章“随机事件与概率”和“事件的相互独立性”的基础上学习的.

2. 内容解析

频率和概率是在实际问题中应用概率论研究的最有力的工具之一，在当今的生产、生活甚至科研活动中，很多随机问题的概率不能计算出来，往往要借助一定量的随机试验，通过频率来估计概率. 例如，一种新药的有效率，就是通过临床试验（往往是双盲试验，目的是尽量减少主观认识对结果的影响）得到的数据进行估计. 而频率的稳定性正是这种估计的理论依据，是概率论的基础，它说明随机现象的背后有着必然的规律，随机事件发生的可能性的大小是可以进行度量的. 在这个理论基础之上，利用当前的信息技术来实现这样的具体操作，即随机模拟.

在初中阶段，学生已经利用频率和概率的关系，通过大量重复试验，利用频率估计概率，在这一节中我们还要研究为什么能用频率来估计概率，进而寻找它们的内在联系和理论背景. 从学生的认知过程来看，这是在探究具体操作背后的数学原理，也进一步理解了上一章“统计”中利用抽样得到样本来估计总体数字特征的合理性. 基于以上原因，确定本小节的教学重点是频率与概率的联系与区别，用频率估计概率和随机模拟.

二、目标和目标解析

1. 目标

本小节的教学目标设置如下.

（1）通过具体的实例，利用动画演示，体会频率与概率的基本关系，认识到如果事件[A]发生的概率比较大，那么在重复试验中，事件[A]发生得比较频繁，因此事件[A]的频率也比较大. 并能用比较严格的数学语言表达.

（2）进一步通过试验认识频率的稳定性，经历具体的随机试验，认识到当重复试验的次数较少时，频率的波动比较大. 随着试验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数的附近，这个常数就是概率.

（3）认识频率与概率的本质区别，对确定的随机事件，其发生的可能性大小是客观存在的，即事件的概率是唯一确定的一个数值. 而事件发生的频率却具有随机性，试验次数不同，其频率可能不同，即使试验次数相同，得到的试验频率也可能不同.

（4）在实际的问题中，通过计算机模拟，利用频率来估计概率.

2. 目标解析

在本小节中，达成上述教学目标的标志如下.

（1）学生亲自操作GeoGebra软件的模拟试验：模拟一个不均匀骰子的投掷. 其中，每个面向上的概率事先给定，进行重复的操作，观察每个面向上的频率，比较频率的大小，并发现概率较大的其频率也较大. 重复这样的试验，验证这个结论的普遍性，猜想出一个一般性结论.

（2）学生亲自操作GeoGebra软件的模拟试验：重复投掷一枚质地均匀的硬币，统计正面向上的频率. 通过比较不同试验次数得到的频率，体会试验次数对频率产生的影响. 观察试验结果，由此归纳出一般的结论，并可以利用这个结论来估计一些随机事件的概率.

（3）学生亲自操作GeoGebra软件的模拟试验：再回到投掷一个不均匀的骰子. 试验事先给定好某个面向上的概率，即某个随机事件发生的概率是确定的. 在这个基础上，重复固定次数的试验，观察这个给定面向上的频率. 通过试验归纳出频率发生具有随机性，并再一次体会频率和概率之间的基本关系.

（4）利用前面得到的结论，通过GeoGebra软件的模拟试验，利用蒙特卡罗法解决一些实际问题，体会这个方法是可以应用到一些实际问题当中的，包括科研、设计、风险控制等.

三、教学问题诊断分析

虽然在小学和初中学生就接触到了概率和统计，但由于概率和统计的思想与其他内容差别较大，因学生此对其理解并不全面、透彻. 另外，很多学生在学习概率与统计的时候，只是掌握了一些操作层面的内容，对其原理并不了解. 当然，概率和统计两者之间有很大的区别，但又有极其密切的联系，学生在初学的过程中不易体会到，从而使得学习概率的过程中只记结论不想原理. 在本小节的教学过程中，要让学生在掌握知识的同时，体会随机现象背后的数学原理，让学生经历认知、联系、理解的不同层次. 另外，概率问题总是以一些具体的随机事件为背景，与实际问题联系紧密，也是学生学习的一个难点.

为此，教师应该将问题分析透彻，尽量用形象的形式来体现，帮助学生通过试验发现数据的特点，引导学生归纳出频率与概率之间的联系，再通过试验验证归纳的结论，并引导学生利用发现的结论解决一些具体的问题.

四、教学技术条件分析

技术是为教学目的服务的. 概率和统计的学习都离不开数据，如果仅用笔纸处理数据会相对枯燥，也不容易发现数据背后的联系，同时会占用大量的时间，而计算机可以弥补这方面的不足. 研究频率与概率的联系，需要大量重复的试验，计算机恰好可以发挥它的优势. 因此，对于这一节内容，用好信息技术对于学生更好地发现、探究、理解和接受频率与概率的关系非常重要. GeoGebra软件作为目前中学数学教学中的一个常用软件，在这方面具有一定的优势，可以达到较为理想的效果.

本小节的教学需要使用GeoGebra软件制作相应的小程序，由学生进行独立的试验.

五、教学过程设计

1. 通过试验，初步体会频率与概率的关系

问题1：已知一个不均匀骰子从1到6这六个面向上的概率分别为[0.1]，[0.2]，[0.2]，[0.3]，[0.1]，[0.1]，现重复投掷[5 000]次.

（1）是不是点数1向上发生的次数比点数2向上发生的次数少？

（2）将投掷次数修改为50，再重复进行这样的试验，有没有什么不同的结果？

（3）通过以上两次试验，试解释下面的问题：某随机事件[A]的概率较大，其发生的频率会有什么特征？反之，其发生的频率较大，则它的概率是否也较大？这个结论与试验次数有何关系？

预设的师生活动：学生会有两种不同的观点. 其一，因为点数2向上的概率比点数1向上的概率更大，因此其频率也会更大一些;其二，因为投骰子，哪一个点数向上是随机的，因此不一定点数[2]向上的频率更大. 这个问题可以让学生先讨论，然后利用GeoGebra软件的模拟试验来实际操作，如图1所示.

因为每一位学生都做这个试验，因此全班相当于做了班级人数次的试验，如40人. 可以问一问大家，有没有谁的点数1向上的次数大于点数2向上的次数？理论上，不会出现这种情况.

然后鼓励大家点击“重复试验”，每一位学生又可以重复试验. 一般地，也不会出现点数1向上的次数大于点数2向上的次数的情况.

有的学生还会提出质疑：毕竟是一个随机试验，按说点数1向上的次数当然有可能大于点数[2]向上的次数呀？为什么会没有出现呢？教师应该鼓励这样的学生，并适时提出第（2）小题，让学生减少投掷的次数，如将其改为50再试一下. 图2就是其中一次试验的结果. 可以看出点数1和点数2面向上的次数是一样的，点数6向上的次数大于点数2向上的次数. 但是要注意，学生发现这种情况之后，教师最好追问：这样的情况多吗？估计有的学生会自己调整投掷次数，如调整为100，500等. 也可以让这些学生说一说自己的发现. 当然，教师也可以鼓励学生自己动手修改试验中的数据，自己来试一试.

这时，教师可以提出第（3）小题，对第（1）（2）两个小题进行总结. 通过投掷次数的不同（第一次试验投掷[5 000]次，第二次试验投掷50次）的试验，回答提到的几个问题，引导学生发现并总结出频率与概率意义的直观认识. 知道频率是描述事件发生的频繁程度，概率是事件发生的可能性大小的度量. 一般地，如果事件[A]发生的概率较大，那么在重复试验中，事件[A]发生得比较频繁，因此事件[A]发生的频率一般也比较大. 反之，在重复试验中，事件[A]发生的频率较大，说明该事件发生的概率也较大. 当试验的次数比较大时（如第一次试验中的[5 000]次），这个结果会更加稳定，试验次数较少时（如第二次试验中的50次），可能会有偏差.

【设计意图】通过一个形象的试验，产生对频率与概率的意义的直观认识，体会随机事件中的必然规律.

2. 认识频率的稳定性

问题2：独立完成下面的试验. 试验分为三组，每组分别投掷20次、100次和500次硬币（试验次数可以自己调整），每组都进行12次这样的试验，通过不同的折线显示每组试验中正面向上的频率. 中间的虚线是一枚硬币正面向上的概率（0.5）.

（1）在每组试验中，频率是不是一样的？为什么？

（2）频率和概率有怎样的关系？

（3）投掷次数的多少对频率的变化有什么影响？

（4）是不是试验次数较多时的频率会比试验次数较少时的频率更接近概率[0.5]？为什么？

预设的师生活动：教师先提出频率与概率有联系. 在大量试验中，一般两个随机事件中概率较大的事件发生的频率也较大. 那么，对于一个随机事件，其频率和概率又有什么关系呢？以投掷硬币的例子来看，如果投掷相同的次数，其频率都是一样的吗？一般情况下，学生会认识到由于是随机试验，因此其结果可能是不一样的. 如果学生没有认识到，那么教师可以先让学生自己动手进行试验，得到结论，再分析原因.

教师再提出第（2）小题，并由学生自己动手进行第一组试验，得到如下类似结果，如图3所示.

通过多次试验，折线图画出了每一次（图中的每一次表示投掷硬币20次）试验正面向上的频率. 引导学生发现频率会在概率的附近摆动.

然后，提出第（3）小题，并带着这个问题完成试验中后两组的操作，得到类似图4的结果.

通过试验，引导学生总结出如下结论：从整体来看，频率在概率[0.5]附近波动. 当试验次数较少时，波动幅度较大;当试验次数较大时，波动幅度较小. 但是，从图中和数据表中可以看出，试验次数较多时，其频率与概率的差距不一定比试验次数较少时的小. 例如，图4中每组的第7次试验，投掷100次硬币的频率与投掷20次硬币的频率相比，距离概率[0.5]的偏差就更大一些. 类似地，每组的第一次试验，投掷100次硬币与投掷500次硬币相比，100次的频率比500次的频率更接近概率. 但是，可以看出，投掷的次数越多，其頻率与概率发生较大偏差的可能性也就越小. 从图4来看，次数较多的试验所对应的折线会相对更加贴近于概率[0.5]. 实际上，解决第（3）小题的同时，第（4）小题也就解决了. 试验次数多时，其频率不一定比试验次数少时更接近概率，但是当试验次数更多时，其频率的波动幅度小的可能性更大.

【设计意图】通过学生自己动手试验来体会频率在概率的附近摆动，当试验次数较少时，频率的波动幅度比较大.

问题3：从上面的例子可以看出当试验次数较多时，频率的波动幅度较小. 那么，随着试验次数的增多，频率和概率又有怎样的联系呢？我们通过第三次模拟试验观察：投掷一枚硬币[1 000]次，绘制出随投掷次数的变化对应频率的散点图，如图5所示. 观察图象的变化规律，提出自己的发现.

预设的师生活动：教师可以打开模拟试验的界面，介绍试验的过程，让学生先猜想一下结果如何. 学生讨论之后，再让学生进行试验，来验证猜想或者否定猜想. 同時，结合第二次试验得到的结果来看第三次试验的结果. 引导学生总结出如下规律：散点落在直线[y=0.5]的附近，即频率在概率附近摆动;散点在最初始的时候波动幅度较大，随着试验次数的增加，波动幅度在缩小，即当试验次数增加时，频率的波动幅度越来越小，逐渐稳定在一个常数附近，即概率的附近.

这时，教师可以继续提出问题：在第二次试验中，提到试验是一个随机试验，因此试验次数较多时的频率与试验次数较少时的频率相比，不一定距离概率[0.5]的偏差就小，这个问题在这个试验中有所反映吗？引导学生发现散点图中的数据并不是随着试验次数的增加而更加接近[0.5]. 教师又可以提出问题：能说这个散点图中，当试验次数无限增加时，频率会趋向于概率[0.5]吗？根据前面的分析，我们知道这个说法是错误的. 接着教师又可以问：那么随着试验次数的增加，频率与概率有怎样的关系呢？如果学生没有总结出来，教师可以提示在第二次试验中我们提到投掷的次数越多，那么其频率与概率发生较大偏差的可能性也就越小，从这一点出发，你能总结出什么规律？引导学生总结：随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，即频率会稳定于事件发生的概率，亦即频率的稳定性. 这正是雅各布·伯努利给出的著名的大数定律.

【设计意图】通过这个问题和试验，让学生巩固由前面的问题得到的基本结论，并进一步体会频率稳定性的特征，初步认识频率并非收敛于概率，而是依概率收敛于概率，体会大数定律.

3. 利用频率的稳定性，解释一些实际问题

问题4：新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.

（1）分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到0.001）;

（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？

预设的师生活动：学生先独立完成第（1）小题. 对于第（2）小题，会有学生提出“生男孩和生女孩一定是等可能的”. 这时，教师要提示学生运用我们刚刚学到的频率与概率的基本关系，即利用频率的稳定性来解释这个问题.

先提出这样的问题：题目中给出的数据是通过抽样调查得知，那么我们自然默认这样的抽样过程是合理和正确的，因为调查的是全国的数据，因此也就认为样本应该是大量的. 如果认为“生男孩和生女孩一定是等可能的”，也就认为男孩的出生率为0.5，换句话说，相当于前面的模拟试验中的概率为0.5. 因此，在大量的试验中，得到的频率值应该稳定在0.5附近，也就是说偏离0.5的概率很小. 该题中由（1）得到2014年男婴出生的频率为[0.537]，2015年男婴出生的频率为[0.532]，偏离[0.5]是比较大的. 可能有学生会提出问题，如何判断[0.532]与[0.5]的偏差较大呢？这时，可以先通过前面的两个试验来研究. 例如，第三次试验如图6所示（这里在第三次试验的基础上绘制了[0.5-][0.032≤y≤][0.5+0.032]的阴影区域，试验次数改为了[2 000]），可以看出当试验次数较多时（在这个具体的试验中，大约试验次数超过200），频率落在阴影区域内.

由前面总结的关系，我们知道当试验次数增大时，频率与概率发生较大偏差的概率越小，因此在这个具体问题中，[0.532]的频率出现就是一个小概率事件了，更何况连续两年的数据（2014年是[0.537]）都是这样，我们就有理由怀疑概率为[0.5]是不正确的了.

另外，教师也应该指出，我们现在的说理还是一种感性的认识，具体的、更为科学的判断方式还需要用统计学中假设检验的方法进行检验.

【设计意图】这个例子会与学生的直观认识不同，通过这个例子培养学生“用数据说话”的科学严谨的态度，以及良好的用概率和统计知识分析和解释问题的能力，让学生体会概率和统计在实际问题中的作用，激发学生学习概率和统计的兴趣.

练习1：一个游戏包含两个随机事件[A]和[B]，规定事件[A]发生则甲获胜，事件[B]发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件[A]和事件[B]发生的概率是否相等.

在游戏过程中，甲发现：玩了[10]次时，双方各胜5次，但玩了[1 000]次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次. 据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的. 你更支持谁的结论？为什么？

预设的师生活动：教师提出问题之后可以让学生发表自己的观点，强调观点需要有理论的支撑. 实际上，与前面投掷硬币的试验类似，当试验次数较少（如问题中的10次）时，频率与概率的波动可能会比较大，特殊的情况容易发生. 但是当试验次数较多（如问题中的[1 000]次）时，频率与概率发生较大偏差的可能性是很小的，由此有理由认为这个游戏是不公平的，应该支持甲对游戏公平性的判断.

【设计意图】这个例子同样是让学生利用学到的频率的稳定性来解释生活中的一些现象.

练习2：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%. 如果您明天要出门，最好携带雨具”. 如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报的不准确. 那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价气象台预报的结果是否准确呢？

预设的师生活动：教师提出问题之后，仍然鼓励学生从频率的稳定性角度分析这个问题. 实际上，降水概率是90%，表示在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 换句话说，在大量的相同条件下，即类似于进行大量的试验，90%的降水概率可以看作随机事件发生的概率为0.9. 我们想要判断预报结果是否准确，就相当于检测这个随机试验的概率是否为0.9. 如果成立的话，则在大量试验的情况下其频率应该稳定在0.9附近. 但是就单独的某一天，相当于只做一次这样的试验，出现不发生是完全可能的，不能说明这个概率的估计有错误. 但是，也不能说明估计概率为0.9是正确的. 只有在大量的试验的基础上，如根据气象台预报的长期记录，在类似的气象条件下预报要降水的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨了，才能判断气象台的预报应该是准确的;如果真是降水的天数所占比例与90%差别较大，那么就可以认为气象台的预报是不準确的. 如同问题4，严格和科学的判断还需要用统计学中假设检验的方法进行检验.

【设计意图】练习1是让学生体会在大量试验的基础上用得到频率来否定一个概率的推断，练习2是让学生体会在一次试验中（或较少的试验次数）发生的结果是不足以否定一个结论的. 这两个练习都是可以用频率的稳定性来解释的.

4. 通过模拟试验，估计随机事件的概率

有些随机事件我们没有办法或者很难求得其发生的概率，那么我们有没有什么手段来估计其发生的概率呢？为什么？

教师可以提出这样一个很实用的问题引导. 这类问题在物理学、化学、生物学、医学、社会学、经济学等各个领域都有广泛的应用. 例如，制药公司研制一种新药，疗效如何？即治好的概率为多少？我们是不可能通过制药过程进行计算得到的. 众所周知，其疗效是通过临床试验（往往是双盲试验，避免心理上对治疗效果的影响）统计出的结果. 实际上，这就是利用频率的稳定性，通过一定量的试验结果，用频率估计概率的基本方法.

下面我们就通过几个具体的实例，来进一步体会用频率估计概率的方法.

问题5：一个口袋装有2个红色球和3个蓝色球，这些球除颜色外没有其他差别. 我们知道，从中摸取一个球，其为红球的概率是[0.4]. 下面我们通过模拟试验看看能不能用频率估计出这个概率值.

预设的师生活动：教师可以先指出通过实际操作是可以的. 但是实际操作耗材、费时、费力，现在我们有先进的技术，可以通过计算机产生随机数进行模拟. 然后，教师可以先让学生讨论，给出一个实施的方案，教师再给出下面的实施方案，并与学生的方案进行对比. 如果学生能提供更好的方案，教师可以在课下将其具体化，制作一个小程序实现，并再一次进行点评.

我们利用GeoGebra软件实现这个随机模拟，先定义一个列表[1，2，3，4，5]，其中1，2表示红色球，3，4，5表示蓝色球，然后在这个列表中随机选取一个元素，判断其大小，重复指定次数，统计取得元素小于等于2的频率，以此来估计概率. 如图7，左侧代数区是小程序的制作过程. 这个试验可以反复进行，也可以设定试验的次数. 图7中的试验，得到频率为0.39，作为概率0.4的估计误差很小. 教师还应该指出，试验的次数不能太小，并让学生解释原因.

【设计意图】通过一个简单的实例，让学生体会用概率估计频率的基本方法. 这个问题的概率是显而易见的，因此通过这个例子，可以让学生在理论的基础上，体会在实际问题中这种估计的合理性.

问题6：从你所在班级任选6名学生，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，…，十二月是等可能的，设事件[A]为“至少有两个人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟给定的次数，估计事件[A]发生的概率.

预设的师生活动：教师可以先问学生能不能求出事件[A]发生的概率. 学生在目前的认知下是不会求解的. 教师可以提出，到了高二可以通过计算得到其概率，但是在很多实际问题中，通过计算求得概率是不可能或者不现实的. 利用问题5中的基本方法，通过计算机随机模拟进行大量试验得到的频率来估计概率，然后让学生思考和讨论设计试验的方法.

与问题5类似，我们仍然通过GeoGebra软件来实现. 先创建一个从1到12的列表表示12个月，然后在其中随机可重复选取6个元素代表选定的6个人所对应的生日月份，判断这6个元素是否有相同元素. 将这样的试验重复给定的次数，统计出有相同元素发生的频率，进而得到概率的估计值. 图8是GeoGebra软件的试验截图，左侧是模拟试验的制作过程.

在图8的试验中，试验次数为20次，这里得到的频率为0.75，实际概率为[1-A612126≈0.78]. 实际上，因为20次的试验次数并不多，因此得到的频率相对不稳定，全班学生去做的话，会有一些学生得到的结果偏离[0.78]很多. 教师可以让学生调整一下试验次数再试一试，如调整为200次，如图9所示.

【设计意图】通过这个例题，让学生体会在无法准确求得概率的时候，随机模拟是一个非常方便和实用的估计概率的方法. 同时，让学生进一步体会频率稳定性的特征.

5. 梳理小结

问题7：通过本单元的学习，你能说出主要研究了什么内容吗？有什么样的结论？我们是通过什么方法来研究它的？它有什么样的实际作用？你能举几个通过这个方法研究的实例吗？你能给出研究的具体过程吗？

【设计意图】帮助学生梳理本单元的基础知识和处理问题的基本方法，应用所学内容解决一些具体的实际问题，培养学生学习概率和统计的兴趣，以及用概率和统计知识解决实际问题的意识.

预设的师生活动：学生自主总结，展示交流.

预设的结果：本单元主要研究随机事件的频率与概率的基本关系，即频率的稳定性. 由于所研究的事件是随机事件，因此在重复试验的过程中，其发生的频率也具有随机性. 但是，随机的背后有固定的规律，这也是变化中的不变关系. 从整体来看，当试验次数较少时，随机事件发生的频率波动较大，但是当试验次数较大时，其频率波动幅度较大的概率很小，当试验次数增大，频率会稳定于事件发生的概率. 利用这个原理，我们可以通过一定量的试验，利用频率估计概率，也可以对生活中的一些随机现象做出解释. 我们通过随机模拟试验来观察前面得到的结论，也可以通过随机模拟试验来实现对实际问题中随机事件概率的估计.

对于具体的实例，可以由学生讨论并展示. 教师也可以布置下面的任务由学生在课下自主完成.

6. 自主研习

任务1：在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采用3局2胜制. 假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4. 设计随机模拟试验，利用GeoGebra软件或者其他软件来估计甲获得冠军的概率.

【设计意图】这是新教材中的例题. 作为自主研习的任务，是为了培养学生自主学习的意识和能力. 学生完成这个任务，可以再对照教材，自我检查和教材处理方式的异同，以达到自我检测的目的. 这也是教材例题使用过程中的一个尝试.

任务2：在概率学习的过程中，有一个很有意思的问题：“生日相同问题”. 我们假设每一个人出生在一年中的365天中任何一天都是等可能的，那么你们班当中，至少有两个人生日相同的概率是多少？请设计一个随机模拟试验，班级人数可以设定（默认40人），来估计一下这个概率. 再通过调整人数，估计一下班级大约至少有多少人就能使概率超过0.5？

【设计意图】这是概率中的趣题，通过这个问题可以激发学生学习概率的兴趣. 当学生发现得到的结果与自己的预估有很大差距时，也会意识到学习概率知识的必要性. 另外，这道题也是问题6的一个变化，可以让学生巩固在本单元中学到的知识和方法.

运用GeoGebra软件，得到图10和图11.

图10是实现这个模拟试验的GeoGebra软件的截图，班级人数为40，试验次数为100时的结果，多次试验得到的频率平均值为0.89，实际的概率为0.8912. 图11是估计23人时的频率，多次试验的频率平均值为0.51，实际的概率为0.5073. 22人时多次试验的频率平均值为0.48. 由此可以估计，班级人数在23人左右时，概率超过0.5.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.