韩娟娟 李师师 田生文

摘  要：通过对2020年高考数学全国Ⅰ卷理科解析几何解答题多种思路及解法的分析，体会试题对学生数学学科核心素养的多方面考查，总结解析几何中定点问题的求解方法，并给出高中数学教学的一些建议.

关键词：解析几何;定点问题;数学素养;教学建议

根据高中数学课程的理念、课程性质及学科特点，《普通高中数学课程标准（2017年版）》调整并优化了课程结构和内容，并提出数学学习有关的六大核心素养. 2020年高考数学全国卷试题在考查基础知识和基本技能的情况下，很好地印证了对学生独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等数学学习能力及数学学科核心素养的考查. 笔者对2020年高考数学全国Ⅰ卷理科解析几何的解答题进行分析，以期对今后的教学有辅助作用.

一、多思路解析高考试题

思路2：分别利用直线PA，PB与椭圆相交，求得点C及点D的坐标，继而写出直线CD的方程，得到定点. 如证法2.

思路3：分别利用直线PA，PB与椭圆相交，求得点C和点D的坐标，归纳推理出定点，并进行论证. 如证法5.

由题意，可得下图.

二、多角度考查数学素养

1. 数学运算素养

从以上证法中，我们不难看出此题对学生数学运算素养的考查比比皆是. 尤其是证法2，当明确运算的目的是求解两点坐标，运算思路为联立方程组，借助一元二次方程求根时，虽然运算程序较为简单，但由于字母及分数的介入，使运算结果的得出比较困难. 在化简直线方程时，形式的繁杂及涉及的未知数较多，更会让很多学生望而却步.

证法3中，以点P为桥梁，较容易得到点C和点D坐标之间的关系. 同时，巧妙地利用两点均在椭圆上，得到两点坐标之间的关系式. 整体而言，能够培养学生敏锐的观察力，促进学生数学思维的发展. 利用平方运算而后代入，既可以降低运算的难度，又能够巧妙得出此题所需的关系式，使解决问题的路径更加明确和便捷.

证法4中，将椭圆上的点利用参数进行表示，同时借助向量共线，寻找到相关三角函数之间的等式. 思路颇为巧妙，融合了圆锥曲线、三角函数及向量等多方面的知识. 同时，使得数学运算思路不再拘泥于单纯的几何认识，更加关注代数的表达.

通过以上多种证法，学生既可以掌握一定的运算规则及技巧，同时也可以拓宽运算思路，促进数学思维发展，形成规范化思考问题、严谨认真的品质.

2. 直观想象素养

3. 逻辑推理素养

此题中定点问题的实质是当动直线变化时，这些直线相交于一点，即这些直线绕着定点在转动. 章建跃博士认为，逻辑推理在发现数学结论、构建数学体系中有很大的效力. 如证法5，在表示出点C及点D的坐标之后，要寻找直线所过的定点，可用特殊的直线情况推理猜想出定点，然后利用三点在一条直线上的特性去验证.

在数学学习的过程中，要注意推理的准确性和严密性. 在此题第（2）小题的证明过程中，我们要充分考虑到所有情况，如直线CD斜率不存在的情况. 尤其要關注每个数学表达式的等价转换，以及分式成立的条件等. 良好的逻辑推理能力，能让学生在复杂的情境中抓住问题的本质，有条不紊、科学合理地进行论证. 逻辑推理能够培养学生思维的严谨性，体现了数学学科的特征.

三、多例题探索求解方法

无独有偶，2020年全国新高考Ⅰ卷的解析几何解答题也考查了有关定点的问题.

从以上问题的解答中，我们可以看到解析几何中的定点问题实质是当动直线或动圆运动变化时，这些直线或圆必将相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动. 总结这类问题的求解步骤为：（1）选择变量，即定点随着这个变量的变化而不变，如可利用点的坐标、斜率、截距等;（2）依据已知条件，得出定点所满足的直线或圆的方程;（3）对方程进行化简，得出定点.

对以下问题的解答，可应用上面的方法.

（1）求抛物线C的方程;

（2）若直线OA，OB的斜率之积为[-12，] 求证：直线AB过x轴上一定点.

四、多方位启示数学教学

1. 数学教学要依托教材，以基础知识为根基

学生数学学科核心素养的发展终归是建立在对数学知识的学习与理解之上，因此知识的教学是最基础也是最重要的教学活动. 数学学习是一个完整的环节，是基于教材的. 学生应该掌握必要的数学基础知识，了解有关数学概念、公式及基本定理. 只有做到对基础知识融会贯通、掌握扎实，才能更深入地了解和探究数学知识的内涵和外延. 因此，在教学中，教师应该关注数学课堂的重要作用，关注对相关概念的深入挖掘，细致讲解知识的关键点和易错点，尤其是一些重要公式的推导和定理的证明，使学生知其然也知其所以然. 同时，要注重对数学知识本质的理解教学，层层深入，引导学生打好根基.

在解析几何的教学中，教师要让学生掌握必要的基础知识，如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立求解它们的标准方程，进一步认识曲线的性质和它们之间的关系，从而为深入探究做铺垫.

2. 数学教学要着力培养学科素养，以基本方法为核心

在教育部印发的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中，明确提出课程是教育思想、教育目标和教育内容的主要载体，是学校教育教学活动的基本依据，直接影响人才培养质量. 因此，对学生核心素养的培养离不开课堂. 要想发展学生的数学学科核心素养，就要在课堂教学中拓宽学生的数学视野，使其感受到数学中数形结合、分类讨论、转化与化归等思想方法，帮助学生更好地建立求解问题的框架.

在平面解析几何的教学中，需要关注两个基本问题：（1）根据条件，求解平面曲线的方程;（2）通过方程，研究平面曲线的性质. 在求解曲线方程时，可利用定义法、直接法、待定系数法、参数法等. 在探究直线与曲线的性质时，包括交点个数、公共弦长、弦的中点等问题，解决这类问题时，通法是联立直线与曲线的方程组，转化为关于x或者y的一元二次方程进行讨论. 同样，需要引导学生关注到相应图象之间的位置关系，进而借助图象的几何特征加以分析.

3. 数学教学要基于能力的训练，以解决问题为目标

学生在掌握了较为扎实的数学基础知识，理解了数学思想方法后，能够综合应用知识进行解题，同时具备发现、提出、分析并解决问题的能力，是高中数学教学的重要方面. 数学知识是一个庞大的系统，但它并不是孤立存在的，其与物理学、生物学、天体学等联系密切. 教学中，不仅要让学生认识、了解数学，也要让学生感受到数学的广博性和应用性，激发起学生对数学的兴趣和热爱. 教学中可以适当设置一些问题情境，让学生对获取的信息进行归纳、整理及分类，从而抽象概括出数学问题，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，体会数学在生活中的重要作用.

在解析几何的教学中，教师要带领学生经历用坐标法求解问题的过程——从实际问题情境中，抽象出圆锥曲线问题，如行星运行轨迹、平抛运动轨迹等;利用其几何特征，科学合理地建立坐标系，用代数语言刻画几何问题;结合直观想象，利用代数运算，求得结论;得出相应的几何解释，解决问题. 让学生经历问题解决的过程，增强数学应用意识，激发数学学习的热情.

4. 数学教学要紧跟学术的前沿，以课程改革为路径

数学教育要秉持德育为先、能力为重、全面发展的教育理念. 在教学中，教师不仅要随时更新自己的知识库，也要不断反思、变革教法和学法，以学生的全面发展为根本，改进学生的培养模式. 推广利用自主、合作与探究的学习方式，以及啟发、讨论、参与的教学方式，进一步增强育人的针对性与实效性. 让学生主动参与学习的探究过程，学会合作，共享思维的汇聚和碰撞，感受知识的发生，体会知识间的联系，从而组建数学知识体系.

教学中，教师应积极利用“互联网+”辅助教学的模式，更好地获取、整合并利用教学资源. 在解析几何的教学中，可利用计算机软件向学生演示曲线的形成过程、相关参数对曲线的影响，以及曲线之间的相互位置关系等. 同时，也可以带领学生去追溯解析几何的发展史及其对人类文明的贡献，撰写相关的数学小论文.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京： 人民教育出版社，2018.

[2]朱立明，胡洪强，马云鹏. 数学核心素养的理解与生成路径：以高中数学课程为例[J]. 数学教育学报，2018，27（1）：42-46.

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