张巍巍 常青 薛红霞

摘  要：从八个方面系统地介绍了“介质与距离对WiFi信号强弱的影响”的数学建模活动从设计到实施的全过程. 第一方面至第六方面是数学建模活动教学的设计，基于常规教学设计对其进行拓展，通过改进使之适用于数学建模教学设计的撰写;第七方面是学生获得的成果，包括成绩和不足两个方面;第八方面是对本次活动的反思. 这样的过程能帮助学生应用数学解决实际问题，并真正理解数学. 该教学设计还基于数学建模活动的需求在表达形式上对传统教学设计进行了发展.

关键词：数学建模;研究规划;自主探究;课题学习

数学建模是高中数学四条主线之一，人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）中设计了数学建模的内容. 依托该内容，结合学生实际生活开展了“关于介质与距离對WiFi信号强弱的影响”的数学建模活动. 在这个活动中，学生有收获的喜悦，也有失败的教训. 下面是此次建模活动设计与实施的真实再现.

一、内容和内容解析

1. 内容：探究关于介质与距离对WiFi信号强弱的影响

建议使用两个课时进行授课. 提前布置任务，仿照教材上建立函数模型解决实际问题的研究过程，在教师给出的选题或者感兴趣的课题中选择一个进行研究. 第一课时完善“关于介质对WiFi信号强弱的影响”的课题研究方向，引导学生在课题中增加“距离”这一变量，完成课题研究的前期准备工作;学生利用活动时间自主收集数据、分析数据、建立模型、检验模型. 第二课时展示研究成果.

2. 内容解析：函数模型在生活中的应用

为了体现研究的价值，我们应选取日常生活中常见的介质来研究. 在建立函数模型时，介质这个因素的体现是静态的，虽然可以变换不同的介质，但从数学角度出发无法将其量化，所以考虑到实验的可操作性（通过控制变量法让其他因素尽可能相同），将距离作为自变量，将WiFi信号的强弱作为因变量，通过不同介质阻隔信号源来建立不同的函数模型.

用函数构建数学模型解决实际问题时，要先对实际问题中的变化过程进行分析，理清其中的常量、变量及相互关系，明确其中运动变化的基本特征，确定运动变化类型. 然后根据分析结果选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题抽象为数学问题，再通过运算、推理，求解函数模型. 最后利用函数模型说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.

2020年的特殊情况让学生只能线上上课，这对家中的WiFi信号要求较高，流畅与否直接影响了学生的学习体验. 在这种特殊的经历下，我们来研究WiFi信号究竟受哪种介质的影响较大，距离对WiFi信号的影响又是怎样的. 围绕这些问题进行数学建模，让学生切身体会数学在现实生活中的作用，从而激发学生的学习兴趣，进一步落实数学建模素养.

综上所述，确定本节课的教学重点是：在学生掌握了基本初等函数的基础上，探究介质与距离对WiFi信号强弱的影响，建立数学模型说明在不同介质的阻隔下不同距离对WiFi信号强弱的影响，切实体验数学在实际生活中的应用.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）学生能够提出课题，并给出合理化建议.

（2）通过实际操作，发展学生的动手能力，确定研究问题的正确方式.

（3）学生根据测量结果得到预期结论.

2. 目标解析

（1）如何体现介质对WiFi信号强弱的影响？通过交流引导，发现在现实生活中很难研究WiFi信号在不同介质中的传播情况，进而想到可以在信号源处放置不同介质进行阻隔，测试在相同距离、不同介质的阻隔下的信号强度. 但是这样只能得到哪种介质对信号阻隔性强，如何体现数学建模呢？教师可以进一步引导学生考虑距离对WiFi信号的影响，这样我们就可以建立函数模型了.

（2）做题能力强但动手操作能力较弱是当前学生的普遍状况. 通过测量、收集数据，可以提高学生动手操作的能力. 为了重点体现介质和距离对WiFi信号的影响，就要在其他因素（如温度、湿度、厚度等）尽可能相同的前提下，体现数据的准确性和代表性，这是研究问题的正确思维方式.

（3）确定研究方案. 通过收集数据，提升学生的动手实践能力;通过整理数据，提升学生处理数据的能力;通过数据分析，绘制散点图，体现数形结合思想，提高学生的应用数据意识和数据敏感性;通过建立模型与求解模型，巩固函数基本性质（定义域、单调性、值域等）. 本次数学建模活动突出学生系统运用数学知识解决实际问题的过程，帮助学生逐步积累数学活动经验，让学生养成用数学眼光观察现实世界的习惯，以及用数学思维分析实际问题和用数学语言表达实际问题的能力.

三、教学问题诊断分析

学生已经掌握了基本初等函数等函数知识，但是本次建模活动的难点不在于此，而在于如何排除非必要因素，提炼、选择主要因素，正确地建立数学模型. 课题提出之初，学生更多的是想研究介质对WiFi信号强弱的影响，教师引导学生发现只需变换不同的介质阻隔信号源，测量等距位置WiFi信号的强弱，即可利用数据进行比较，不需要建立函数模型就可得出结论，那么此次课题还有研究的必要吗？让学生思考影响WiFi信号强弱的因素还有哪些，哪些因素是我们比较关注的. 例如，温度、湿度、介质厚度、与信号源的距离等. 这些因素会直接影响WiFi信号强弱，具备实用性和可操作性的是与信号源的距离，所以我们将课题定为“关于介质与距离对WiFi信号强弱的影响”.

四、教学支持条件分析

利用Excel软件完成数据的处理和函数图象拟合.

五、研究规划

在当今社会，WiFi无线网络已成为人们生活当中不可或缺的一部分，因此我们借助数学课题研究“关于介质与距离对WiFi信号强弱的影响”很有必要. 初步思考建模活动的可操作性. WiFi信号如何测量？利用手机软件可直接测量. 介质对WiFi信号的影响如何体现？因为信号发射呈辐射状，利用不同介质完全包裹信号源，体现介质这个因素的决定性作用. 如何包裹住家庭中的WiFi路由器？从可操作性方面考虑，利用手机热点充当WiFi信号发射源. 通过前期准备发现此课题具有可研究性，第一课时完善开题报告中的问题，确定有哪些介质，预测介质对WiFi信号强弱的影响，影响WiFi信号强弱的因素还有哪些. 确定课题研究方向，即介质与距离对WiFi信号强弱的影响. 接下来学生利用活动时间自主收集数据、分析数据，建立模型、检验模型. 第二课时展示研究成果.

六、教学过程设计

1. 课前引导

引导语：函数是描述现实世界变化规律的语言和工具，如何根据实际问题建立函数模型？如何用函数模型解释和解决实际问题？运用函数模型解决实际问题时应注意什么？

（1）选定建模课题.

在教师给出的选题或者感兴趣的课题中选择一个进行研究.

师生活动：教师提出问题，学生自主完成.

【设计意图】学生是活动的主体，要充分尊重学生的意见.

（2）对学生提出的课题“关于介质对WiFi信号强弱的影响”可操作性进行讨论.

问题1：WiFi信号可测吗？

问题2：如何体现介质对WiFi信号的影响？

问题3：家庭中使用的WiFi路由器如何实现覆盖操作？

师生活动：教师提出问题，学生自主完成.

【设计意图】确定课题的可操作性，同意选择学生提出的课题，让学生在学习中获得成就感，提高学生活动的参与度，激发学生的学习兴趣.

2. 第1课时：“关于介质与距离对WiFi信号强弱的影响”开题报告活动

（1）选题的意义.

问题预设：为什么没有从教师预选的课题或者教材中提供的课题着手进行探究？

答案预设：随着当今社会的高速发展，网络已成为人们生活中不可或缺的因素，研究介质与距离对WiFi信号强弱的影响更贴近生活.

【设计意图】让学生体会课题研究的意义.

（2）完善学生提出的课题“关于介质对WiFi信号强弱的影响”.

学生可能面对的困难1：介质的提出有重复性.

教师引导：WiFi信号属于电磁波，速度受介质影响主要是由介质的密度、厚度、大小、反射率决定的，所以对于有共性的介质选取其中有代表性的进行研究即可.

学生可能面对的困难2：在众多影响WiFi信号强弱的因素中，过多关注厚度，无法排除非必要因素，提炼、选择主要因素.

教师引导：研究问题需要关注问题中的变量和定量，若研究介质厚度在实际生活中确实有用，但是在操作中保证不同介质累加相同厚度存在难度，则可以把变量定为与信号发射源的距离，测试相对简单，而且也可以服务实际生活，即在什么样的范围内WiFi信号强度较好.

【设计意图】进一步将课题完善为“关于介质与距离对WiFi信号强弱的影响”.

（3）数据收集的前期准备工作.

学生可能面对的困难：忽略其他因素对WiFi信号的影响.

教师引导：在什么地方测量？在什么样的环境中测量？

答案预设：在空旷的地方，最好在温度、湿度相同的条件下测量.

【设计意图】在其他因素尽可能相同的情况下才能体现“介质”与“距离”在影响WiFi信号强弱的因素中所起的决定性作用.

作业：课题组长分配任务.

① 填写研究报告.

② 细化前期准备工作.

③ 设计好活动时间的数据收集工作.

④ 数据资源共享，分析数据建立模型，从数据中得到结论.

（4）学生自主探究.

① 收集数据.

学生可能面对的困难1：数据测量存在误差.

教师引导：对与信号源距离相同的不同位置多次测量求平均值.

学生可能面对的困难2：选择不同介质在不同的距离测量时对WiFi信号的影响差异较小，所以测试距离间隔较大.

教师引导：手机热点作为信号源信号较弱，建议测试距离密集一些，数据多一些，在后续的研究中才能更好地描绘函数模型.

学生可能面对的困难3：测试信号的软件不同，影响测试结果.

教师引导：尽量选取相同的手机软件接收信号，也尽量选取同型号、同运营商的手机，尽最大努力排除其他因素对WiFi信号的影响.

② 分析数据.

学生可能面对的困难1：取得数据后不知道先描绘和观察散点图.

教师引导：提醒学生将数据可视化. 选定适合的横、纵坐标绘制散点图.

学生可能面对的困难2：绘出散点图后无法将散点图反映出的规律抽象为数学语言.

教师引导：鼓励学生先转化为自然语言，再把自然语言转化为相应的数学语言.

③ 初步建立模型并进行分析.

学生可能面对的困难1：数据拟合后不知道选取哪个函数模型.

教师引导：注意图形与数据的匹配程度.

学生可能面对的困难2：不知道如何判断所建模型的合理性.

教师引导：匹配程度好是预测值与实际值差距较小，可以比较每组数据的预测值与实际值的差距，进而说明问题，鼓励学生自学相关知识.

3. 第2课时：“关于介质与距離对WiFi信号强弱的影响”结题交流

学生在教师的引导下，分组汇报成果.

（1）教师活动.

① 认真聆听并思考.

② 对比自己所在小组的模型和结果，思考可能的改进方案.

③ 记录对该组的质疑，汇报后可以提问.

（2）学生活动.

① 小组课题负责人汇报成果，其他成员可以补充.

② 其他小组成员做好记录，认真反思，取长补短.

（3）课题总结.

① 评出优秀小组.

② 指出优点和缺点.

③ 布置作业：完成研究报告;利用教材中处理数据的方法，计算拟合函数模型并存档，在后期学习拟合效果的知识后再拿出来做对比.

七、研究成果

1. 介质对WiFi信号强弱的影响

通过测量发现，介质对WiFi信号的影响由强到弱分别为塑料、金属、泡沫塑料、玻璃，如表1所示. 由于WiFi信号属于电磁波，介质对WiFi信号的阻隔程度是由介质的密度、厚度、大小、反射率决定的，介质的形状、大小、厚度对实验结果均有影响，所以实验结果与实际介质对电磁波影响有出入. 这里要充分肯定学生在现有条件下做出的努力，肯定学生解决问题的科学方法，用数据说话，体现数学在生活中的实际应用.

WiFi路由器放置时尽量避开塑料、金属、玻璃等材质的障碍物，放置在较开阔的位置，这样信号被阻隔的可能性较小，接收效果较好.

2. 不同介质阻隔下距离对WiFi信号强弱影响效果的探究

表1的数据体现了在不同介质阻隔下距离对WiFi信号强弱的影响. 通过数据处理、计算机拟合，学生可以根据函数模型具体说明WiFi信号的衰减趋势，进一步巩固和提高了学生对函数模型变化趋势的认识.

通过表2的数据可以看到在3 m内信号较强，在3.5 m以外信号较弱，说明WiFi信号在空气中传播时信号也是在减弱的，在空气中WiFi信号传播的有效距离为3.5 m. （WiFi信号接收速度大于20 Mbps时，认为信号较强;接收速度小于10 Mbps时，认为信号较弱.）

通过表3的数据可以看到，在金属铁的阻隔下，在1 m内信号较强，在2 m以外信号已经很微弱，说明铁介质对信号阻隔较强，铁介质阻隔下的WiFi信号的有效距离为1 m.

通过表4的数据可以看到，在玻璃的阻隔下，在3.5 m内信号较强，在6.5 m以外信号较弱，说明玻璃介质对信号的阻隔性没有铁介质强，玻璃介质阻隔下WiFi信号的有效距离为3.5 m，与空气介质组数据很相近，说明玻璃介质对WiFi信号的影响很微弱.

通过表5的数据可以看到，在塑料的阻隔下，在3 m内信号较强，在6 m以外信号已经很微弱，说明塑料介质对信号的阻隔没有铁介质强，塑料介质阻隔下的WiFi信号的有效距离为3 m.

3. 失败引发的思考

因为与其他小组的信号源距离过近，并且测量间距较大，导致表6测试的数据不尽如人意，教师与学生进行沟通，鼓励学生不要害怕失败，并带领小组成员认真分析了失败的原因，最终得到了意想不到的结果.

通过实验与反思，发现WiFi信号并不能达到1 + 1 > 2的效果，同一位置接收信号较多时，信号之间是互相干扰的，所以家庭路由器的使用并不是越多越好.

4. 一组数据下的两种函数模型拟合

表7的数据是最令人惊艳的. 一个小组认为在实际生活中WiFi信号只会越来越弱但不会消失为0，所以应该选取指数型函数进行拟合，这样更符合实际意义;而另一组认为选取直线型函数进行拟合与数据的匹配度更好，并且计算出了实际测量数据的平均值为19.784，直线型拟合函数的平均值为19.783 45，指数型拟合函数的平均值为23.868 7，数据体现出直线型函数拟合效果更好. 学生不但勇敢地提出质疑而且还能够用数据说话，教师对两个小组都给予了充分肯定，针对这种情况，教师引导学生思考如何来解决这个问题.

学生提出在测量中应该让距离间隔更近一些，从而使数据点更加密集，通过匹配程度即可看出哪种函数拟合效果更好，教师进一步鼓励学生自学拟合效果的知识，体验数学建模在学习中的综合性应用，激发学生学习数学的兴趣，使学生在学习中找到快乐与成就感.

通过表7的数据可以看到，在泡沫塑料阻隔下，在1.5 m内信号较强，在3.5 m以外信号已经很微弱了，说明泡沫塑料介质对信号的阻隔也没有铁介质强，但比其他介质要强，泡沫塑料介质阻隔下的WiFi信号的有效距离为1.5 m.

5. 启示

（1）建筑材料的选取. 在不影响建筑结构且经济实用的前提下优先选取对WiFi信号阻隔较小的材料，也可以考虑合成新型材料来达成目的.

（2）通过前期数据的测量，拟合函数后可以计算WiFi信号覆盖的最优距离，从信号发射源入手，加强信号覆盖面积，提高学生研究这方面物理知识的兴趣.

（3）通过实验，我们发现无论介质还是距离对WiFi信号的阻隔都很难“消失不见”，所以屏蔽仪的工作原理是从信号干扰入手. 可以让感兴趣的学生自己查阅资料，这样的建模活动不是只停留在数学课和数学知识层面上，而是在真正意义上实现了各科知识的融合，使學生的综合能力得以提高.

八、对本次课题研究活动的反思

在课题选定时充分尊重学生，通过交流研讨确定建模方向，预计通过此次建模活动完成两个问题的研究. 一是不同介质对WiFi信号的影响强弱排序是否与起初设想相同;二是在相同物质阻隔下WiFi信号传播受到距离的影响是怎样的，越来越弱的信号如何通过数学语言来刻画. 但是在开题时提出的目标不够明确，导致学生只关注了第二个问题，只有一组学生测量了距离不变，不同介质阻隔下同一WiFi信号的强弱，如果不研究第一个问题，其实课题应该改成“在不同介质阻隔下WiFi信号受距离的影响”. 因此，在实践课上，教师虽不应该包办所有，但也不能放手不管，明确的目标引领是必要的.

在数据测量过程中学生的动手实践能力得以提高，但是个别小组也出现了一些问题. 例如，数据较少，测量间隔较大，说明前期准备不到位，留给学生的讨论时间不够充分. 教师对学生遇到的问题预设也不到位，尽管我们已经想到了很多问题，但由于信号的不稳定性，以及测量的时间不够充分，导致部分小组的研究数据出现异常，最后无法进行函数拟合.

在数据处理过程中，因为时间有限，没有让学生自主计算函数模型，未完成数据处理的目标，只能让学生形象地看到结果，而没有计算的过程，学生处理数据的能力没有得到提高. 以后在处理这类课题时还是要适度留出时间.

在函数模型拟合后基本出现了预想的函数模型，学生也能够感受到函数模型该如何选取，但是利用模型说明实际问题做得不够理想，只能看出信号的衰减性，函数模型的预测作用没有得到体现. 实际应用上的结论做得不够好. 虽然在教师的引导下，学生得出了结果，但是对于数学模型的实际应用还是没有放开思想、打开思路.

在活动过程中，学生的表现还是可圈可点的. 例如，选题比较前沿，前期工作中考虑得也比较全面，个别小组的数据收集具有代表性;在数据的处理过程中也敢于提出不同意见，并且能用自己的方法来粗略验证模型选取的最优问题;在测量中因为没有封闭信号源，使得测出的数据出现突变，从而提出金属有加强信号的作用. 这些都能体现学生在本次活动中的主观能动性和处理问题的综合能力，如果能坚持下来带学生做数学建模，相信学生的综合能力和数学学科核心素养都会得到提高.

通过本次活动可以培养学生从实际情境中用数学眼光发现问题和提出问题，并通过分析问题、构建模型等活动，最终解决实际问题的能力.

从知识层面上讲，本活动不仅进一步巩固了函数模型的应用，还对接下来关于统计中最小二乘法求回归直线方程、非线性回归方程、残差图及[R2]的学习均有深远的意义，因此将数据留存，还可以协助后续单元的教学.

最后，希望课题学习在接下来的教学中可以持续，在不停的实践与反思中能够切实将其做好，在真正意义上提高学生的数学学科核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.