刘彦永

摘 要：对2020年新课标Ⅰ卷文科第21题进行了试题分析、解法探究，旨在掌握这类试题的解题策略.

关键词：高考试题;压轴题;定点;解法探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0050-03

2020年高考新课标Ⅰ卷文科第21题，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：

已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程;

（2）证明：直线CD过定点.

一、试题分析

本题也是2020年高考全国1卷理科第20题，考查了曲线的方程和圆锥曲线中直线过定点问题.问题由浅入深，对计算难度、思维深度的要求逐步提高.考查学生的推理论证能力和代数运算能力.考查层次分明、区分度较高，能使学生充分展示理性思维的广度和深度和数学核心素养.

二、解法探究

本题第（2）问的解法很多，不同的解图1法体现不同的思维层次和思考角度，要求学生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.

解析 （1）根据题意作图如下：

由椭圆方程E：x2a2+y2=1（a>1）可得A-a，0， Ba，0，G0，1，故AG=a，1，GB=a，-1，因此AG·GB=a2-1=8，所以a2=9，椭圆方程为x29+y2=1.

下面对第二问深入探讨：

解法1 设点表线解决问题

（2）证明：设P6，t，则直线AP的方程为

y=t9x+3.

联立直线AP的方程与椭圆方程可得

x29+y2=1y=t9x+3，

整理得

t2+9x2+6t2x+9t2-81=0，

解得x=-3或x=-3t2+27t2+9

将x=-3t2+27t2+9

代入直线y=t9x+3，

可得y=6tt2+9，

所以点C的坐标为-3t2+27t2+9，6tt2+9，同理点D的坐标为3t2-3t2+1，-2tt2+1.

当直线CD斜率不存在时，即-3t2+27t2+9=3t2-3t2+1，解得t2=3，此时直线CD的方程为x=32.

当直线CD斜率存在时，直线CD的方程为y--2tt2+1=6tt2+9--2tt2+1-3t2+27t2+9-3t2-3t2+1x-3t2-3t2+1，

整理得y+2tt2+1=8tt2+369-t4x-3t2-3t2+1=8t63-t2x-3t2-3t2+1，即y=4t33-t2x+2tt2-3=4t33-t2x-32

综上所述，直线CD恒过定点32，0.

点评 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点问题，设该直线上两点的坐标，建立点的……