APP下载

对2020年新课标Ⅰ卷压轴题的解法探究

2021-09-10刘彦永

数理化解题研究·高中版 2021年4期
关键词:压轴题高考试题定点

刘彦永

摘 要:对2020年新课标Ⅰ卷文科第21题进行了试题分析、解法探究,旨在掌握这类试题的解题策略.

关键词:高考试题;压轴题;定点;解法探究

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)10-0050-03

2020年高考新课标Ⅰ卷文科第21题,引起了笔者的深入探索和思考.题目如下:

已知A、B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程;

(2)证明:直线CD过定点.

一、试题分析

本题也是2020年高考全国1卷理科第20题,考查了曲线的方程和圆锥曲线中直线过定点问题.问题由浅入深,对计算难度、思维深度的要求逐步提高.考查学生的推理论证能力和代数运算能力.考查层次分明、区分度较高,能使学生充分展示理性思维的广度和深度和数学核心素养.

二、解法探究

本题第(2)问的解法很多,不同的解图1法体现不同的思维层次和思考角度,要求学生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.

解析 (1)根据题意作图如下:

由椭圆方程E:x2a2+y2=1(a>1)可得A-a,0, Ba,0,G0,1,故AG=a,1,GB=a,-1,因此AG·GB=a2-1=8,所以a2=9,椭圆方程为x29+y2=1.

下面对第二问深入探讨:

解法1 设点表线解决问题

(2)证明:设P6,t,则直线AP的方程为

y=t9x+3.

联立直线AP的方程与椭圆方程可得

x29+y2=1y=t9x+3,

整理得

t2+9x2+6t2x+9t2-81=0,

解得x=-3或x=-3t2+27t2+9

将x=-3t2+27t2+9

代入直线y=t9x+3,

可得y=6tt2+9,

所以点C的坐标为-3t2+27t2+9,6tt2+9,同理点D的坐标为3t2-3t2+1,-2tt2+1.

当直线CD斜率不存在时,即-3t2+27t2+9=3t2-3t2+1,解得t2=3,此时直线CD的方程为x=32.

当直线CD斜率存在时,直线CD的方程为y--2tt2+1=6tt2+9--2tt2+1-3t2+27t2+9-3t2-3t2+1x-3t2-3t2+1,

整理得y+2tt2+1=8tt2+369-t4x-3t2-3t2+1=8t63-t2x-3t2-3t2+1,即y=4t33-t2x+2tt2-3=4t33-t2x-32

综上所述,直线CD恒过定点32,0.

点评 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点问题,设该直线上两点的坐标,建立点的坐标满足的方程,求出相应的直线,然后再说明直线过定点.

解法2 设点设线解决问题

设P6,t、C(x1,y1)、D(x2,y2),直线CD方程为x=ty+n(-3<n<3),则由x29+y2=1x=ty+n知(t2+9)y2+2tny+n2-9=0,

y1+y2=-2tnt2+9,y1y2=n2-9t2+9(*)

由三点共线知y1=t9(x1+3),y2=t3(x2-3),

即y21=t281(x1+3)2,y22=t29(x2-3)2.

由C(x1,y1)、D(x2,y2)在椭圆x29+y2=1上,知y21=1-x219,y22=1-x229.故y21y22=(x1+3)29(x2-3)=9-x219-x22,

整理得4x1x2-15(x1+x2)+36=0,

即4(ty1+n)(ty2+n)-15(ty1+ty2+2n)+36=0,

結合(*)式整理有2n2-15n+18=0,解得n=6(舍)或n=32,直线CD方程为x=ty+32,故直线CD恒过定点32,0.

点评 解法2巧妙利用坐标的平方,再结合点在椭圆上处理问题,这就是曲线代换,2011年四川理科高考圆锥曲线题就可以用曲线代换解决.反设直线也避免了讨论斜率是否存的情况,事实上,先讨论斜率不存在,再设直线CD方程为y=kx+m解决问题也会有巧妙处理技巧,在此不赘述.

解法3 整体法解决问题

同解法2可知,2tny1y2=(9-n2)(y1+y2)(**)

由三点共线知y1=t9(x1+3),y2=t3(x2-3),y1y2=x1+33(x2-3)=ty1+n+33(ty2+n-3)

整理得2ty1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0,结合(**)式有

(2n2-9n+9)y1+(-2n2-3n+9)y2=0,

故2n2-9n+9=0-2n2-3n+9=0,解得n=32.

直线CD方程为x=ty+32,故直线CD恒过定点32,0.

点评 解法3利用韦达定理很难处理,然而利用(**)式进行替换,利用整体法就很巧妙地解决了问题.这种代数变形的技巧需要积累多了才能用得灵活.

解法4 先猜后证解决问题

证明:根据已知条件的特征和椭圆的对称性,可以猜想到该定点一定在x轴上.

同解法1得到点C-3t2+27t2+9,6tt2+9、D3t2-3t2+1,-2tt2+1.

当直线CD斜率不存在时,得t2=3,

此时直线CD的方程为x=32,过x轴上点M32,0.

当直线CD斜率存在时, MC=-9t2+272(t2+9),6tt2+9,MD=3t2-92(t2+1),-2tt2+1,

由-9t2+272(t2+9)·-2tt2+1-6tt2+9·3t2-92(t2+1)=0,知MC与MD共线,即直线CD过定点M32,0.综上所述,直线CD恒过定点32,0.

点评 面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定点,然后再验证该点对一般情况是否符合.解法2利用先猜后证思想,不失为破解此类未知问题的一个巧妙方法.事实上,解答过程也可利用kMC=kMD证明直线CD恒过定点32,0.

解法5 参数方程解决问题

设P6,t、C3cosα,sinα、D3cosβ,sinβ.

当t≠0时,由P、A、C三点共线知sinα3cosα+3=t9,由P、B、D三点共线知sinβ3cosβ-3=t3,故3sinα3cosα+3=sinβ3cosβ-3,即3sinα(cosβ-1)=sinβ(cosα+1),利用二倍角公式有cosα2cosβ2=-3sinα2sinβ2.直线CD的方程为

y-sinα=sinβ-sinα3cosβ-3cosα(x-3cosα),令y=0有

x=3sin(β-α)sinβ-sinα=6sinβ-α2cosβ-α2-2sinα-β2cosα+β2=3cosβ-α2cosα+β2

=3(cosα2cosβ2+sinα2sinβ2)cosα2cosβ2-sinα2sinβ2=32

故直线CD过定点32,0.

当t=0时,直线CD的方程为y=0,也过点32,0.

综上所述,直线CD恒过定点32,0.

点评 利用参数方程巧妙地用一个参数表示出椭圆上点的坐标,结合三角函数公式快速解决问题.2010年陕西、辽宁、宁夏高考圆锥曲线解答题均可用参数方程解决.

解法6 极点极线解决问题

设P6,t,则点P的极线为23x+ty=1.因为直线CD与直线AB的交点必在点P的极线上,此点就是32,0,也就是直线CD恒过的定点.

点评 基于高等数学的极点和极线知识命题是命题人的一个常见思路,这在全国各地的考题中屢见不鲜.尽管此法简洁,但不宜作为解答题的解法,也不建议教师突出本解法而冲淡常规解法.值得一提的是本题的第(2)问与2010年江苏高考试题18题第(3)问本质完全一样,几乎就是“撞衫”题.

圆锥曲线中的定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就要用变化的量表示目标量,目标量不受变化的量所影响的那个点就是要求的定点.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示目标量,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

圆锥曲线解答题主要考察学生的运算能力,因此在备考过程中要培养学生敢想、会算、有信心能算对.这就要求教师首先对试题的解法深入的探究,然后在教学中践行所掌握的知识技能和思想方法,最后使学生的思维更广阔、思想更深刻.

参考文献:

[1]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师, 2016(9):33-38.

[2]韩毅,蒋晓东.椭圆的极点极线性质及推论[J].中学数学研究,2019(5):2-5.

[责任编辑:李 璟]

猜你喜欢

压轴题高考试题定点
直线过定点的5种特优解法
圆锥曲线专题(一)
2016年高考物理压轴题考查分析
限制性核酸内切酶及相关试题的归类分析
2014年全国新课标卷Ⅱ第25题的分析与启示
巧用高考试题,让高三哲学复习课堂灵动起来
中考数学压轴题的方向研究
利用高考试题,提升高三历史一轮复习的“能效比”
2015年天津高考物理压轴题第2问的巧解
对一道定点问题求解的进一步探讨