杜龙安 陈国林

摘 要：三角恒等变换公式繁多，内容繁杂，要想熟练掌握各个公式的变换，首先必须掌握同角三角函数的商数关系和平方关系.

关键词：同角函数;平方关系;商除关系

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0007-03

同角三角函数的基本关系主要包含商数关系：tanα=sinαcosα（α≠kπ+π2，k∈Z）和平方关系：sin2α+cos2α=1（α∈R），商数关系能够将正切函数、正弦函数和余弦函数建立等式关系，实现弦切互化，平方关系对任意的角度都成立，这两个基本关系是解决恒等变换的必要公式.

一、真题再现

例题 （2015福建卷）若sinα=-513，α为第四象限角，则tanα的值等于（）.

A.125 B.-125 C.512 D.-512

解析 解法一 因为sinα=-513，α为第四象限角，所以cosα=1-sin2α=1213，故tanα=sinαcosα=-512.

解法二 通过画直角三角形

先不考虑象限对三角函数的影响，由sinα=-513，可知直角三角形的另一直角边为12，故tanα=512，下面考虑tanα值的正负，因为α为第四象限角，所以tanα=-512

二、真题变式

变式1 若tanα=512，α为第三象限角，则cosα的值等于（）.

A.-1213 B.-513 C.513 D.1213

解析 因为tanα=sinαcosα=512，sin2α+cos2α=1，解得cosα=±1213，又α为第三象限角，所以cosα=-1213.

变式2 若tanα=-12，且cosα<0，则sin（π+α）=（）.

A.-55 B.-255 C.55 D.255

解析 ∵tanα=-12，∴α为第二或第四象限角，又cosα<0，∴α为第二象限角，

由sinαcosα=-12sin2α+cos2α=1，解得sinα=55cosα=-255.

∴sin（π+α）=-sinα=-55.

变式3 若tanα=512，则2sinα-3cosα4sinα-9cosα=.

解析

2sinα-3cosα4sinα-9cosα=2tanα-34tanα-9=2×512-34×512-9=-1344

变式4 若sinα+cosα=15，α∈（-π，0），则sinα-cosα=.

解析 由sinα+cosα=15，

平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=125，

整理得2sinαcosα=-2425.

∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=4925.

由α∈（-π，0），知sinα<0，

又sinα+cosα>0，

∴cosα>0，则sinα-cosα<0，

故sinα-cosα=-75.

三、解法归纳

1.同角三角函数关系式应用的注意事项

（1）同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2+cos2α2=1，sin3xcos3x=tan3x（3x≠kπ+π2，k∈Z）都成立，但是sin2α+cos2β=1就不一定成立;

（2）對于含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.

2.同角三角函数关系式的方程思想

对于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα，体现了方程思想的应用.

四、针对演练

1.若tanα=3，则sin2αcos2α的值等……