武增明

摘 要：本文给出一道2020年高考数列题的十种证法，与读者共赏.

关键词：高考试题;数列通项;证法探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0063-02

试题 设数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n.

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明;

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn .

这是2020年高考全国Ⅲ卷理科数学第17题.

这道考题的第（1）问是以数列递推式为背景，求数列的通项公式问题，此问题符号优美，题面简洁，构思巧妙，立意新颖，让人赏心悦目，耐人寻味，回味无穷，涉及的数学知识和蕴含的数学思想方法非常丰富，逻辑推理性很强，具有很大的探究价值，具有很高的训练价值，具有很强的代表性，是一道训练数学思维的好题，很值得深入探究.于是，引起笔者极大的探究兴趣与热情.下面给出此题第（1）问的十种证法，旨在供同仁在教学过程中作参考，旨在对同学们在学习这类问题时有所帮助和启示.

证法1 （试验法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

若an=2n+1，则an+1=2（n+1）+1=2n+3，

又3an-4n=3（2n+1）-4n=6n+3-4n=2n+3，

此时an+1=3an-4n成立，所以an=2n+1.

证法2 （数学归纳法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

（1）当n=1时，由an=2n+1知，a1=3，符合题意，故当n=1时，an=2n+1成立.

（2）假设当n=k（k∈N*）时，an=2n+1成立，即ak=2k+1成立.

则n=k+1时，因为ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2（k+1）+1，

所以当n=k+1时，an=2n+1成立.

由（1），（2）可知，对于任意正整数n，an=2n+1成立.

证法3 （正向思维迭代递推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

因为an+1=3an-4n，

所以a2-5=3（a1-3），

a3-7=3（a2-5），

a4-9=3（a3-7），

……

an-（2n+1）=3[an-1-（2n-1）].

因为a1-3=0，

所以an-（2n+1）=0，即an=2n+1.

证法4 （逆向思維迭代递推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

由已知可得an+1-（2n+3）=3[an-（2n+1）]，

an-（2n+1）=3[an-1-（2n-1）]，

……

a2-5=3（a1-3）.

因为a1=3，即a1-3=0，

所以an-（2n+1）=0，即an=2n+1.

证法5 （逆向思维迭代递推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

因为an+1=3an-4n，①

所以an=3an-1-4（n-1），②

①-②，得an+1-an=3an-3an-1-4，

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2），

所以an-an-1-2=3（an-1-an-2-2），

……

a4-a3-2=3（a3-a2-2），

a3-a2-2=3（a2-a1-2）.

因为a2-a1-2=0，所以an+1-an-2=0.

于是数列{an}是首项为a1=3，公差d=2的等差数列，故an=a1+（n-1）d，从而an=3+（n-1）·2，即an=2n+1.

证法6 （逆向思维迭代递推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

因为an+1=3an-4n①

所以an=3an-1-4（n-1）②

①-②，得an+1-an=3an-3an-1-4，

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2），

所