李俊

摘 要：构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关的函数，通过观察分析，借助函数本身的性质，如单调性或利用运算结果，解决原问题的方法.构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性.在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标.

关键词：构造函数;导数

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0065-03

近几年各地高考数学试卷中，许多涉及函数选择题或填空题的题目，可采用构造函数法进行解答.所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关的函数，通过观察分析，借助函数本身的性质，如单调性或利用运算结果，解决原问题的方法.简而言之就是构造函数解答问题.如何合理地构造函数就成为了问题的关键，这里我们就这方面问题探讨一下.

例1 已知函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，且对任意x∈R，都有f ′（x）>2，则f（x）>2x+4的解集为（）.

A.（-1，1）B.（-1，+∞）

C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞）

解析 構造函数h（x）=f（x）-2x-4，所以h′（x）=f ′（x）-2，由于对任意x∈R，f ′（x）>2，所以h′（x）=f ′（x）-2>0恒成立，所以h（x）=f（x）-2x-4是R上的增函数，又由于h（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0，所以h（x）=f（x）-2x-4>0，即f（x）>2x+4的解集为（-1，+∞），故选B.

点评 对于f ′x>aa≠0，可构造函数hx=fx-ax.

例2 设f（x）是R上的可导函数，且f ′（x）≥-f（x），f（0）=1，f（2）=1e2，则f（1）的值为.

解析 由f ′（x）≥-f（x）得f ′（x）+f（x）≥0，构造函数hx=exfx，则h′x=exfx+exf ′x=ex（fx+f ′x）≥0，所以函数hx=exfx是R上的增函数，此时有1=h2≥h0=1，故hx=exfx=1，所以f（1）=1e.

点评 对于f ′（x）+f（x）>0，可构造函数

hx=exfx.

例3 已知f（x）>0为f（x）<0上的可导函数，且

f（x）>x，均有f（x）<x，则有（）.

A.e2016f（-2016）<f（0），f（2016）>e2016f（0）

B.e2016f（-2016）<f（0），f（2016）<e2016f（0）

C.e2016f（-2016）>f（0），f（2016）>e2016f（0）

D.e2016f（-2016）>f（0），f（2016）<e2016f（0）

解析 构造函数h（x）=f（x）ex，则h′（x）=f ′（x）ex-exf（x）（ex）2=f ′（x）-f（x）ex，因为x∈R，均有f（x）>f ′（x），并且ex>0，所以g′（x）<0，

故函数h（x）=f（x）ex在R上单调递减，所以h（-2016）>h（0），h（2016）<h（0），

即f（-2016）e-2016>f（0），f（2016）e2016<f（0），即

e2016f（-2016）>f（0），f（2016）<e2016f（0），故选D.

点评 对于f ′（x）-f（x）>0，可构造函数h（x）=f（x）ex.

例4 若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式

xf ′（x）+f（x）>0恒成立，对任意正数a、b，若a<b，则必有……