刘雷

摘 要：通过对2020年1月4日六校联考[1]数学第20题解法探究，探究其规律，并适当拓展，充分挖掘题目本质原理，得到了一般性结论，并深化条件给出了一些优美的性质。

关键词：2020年1月4日六校联考;解析几何;一般性结论;优美性质

六省六所全国重点中学联考，简称六校联考[1]。是由六校轮流命题，考试涉及面广，影响力大，历来受到大家的高度重视。2020届高三第一次六校联考于2020年1月4日-1月5日进行，其中解析几何试题位于第20题的关键位置，题目形式上，一证一算，聚焦数学运算及逻辑推理核心素养，考察学生缜密的逻辑思维和运算求解能力。

题目的设问形式简洁，结论优美。并且通过探究还能得到一些拓展性结论和性质，本文基于此展开笔者的探究过程，

供大家参考。

一、题目与解答

已知椭圆G：右焦点为F，过F的直线l交椭圆于A，B两点，直线l不与坐标轴平行，若AB的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线x=3于M.

（Ⅰ）求证：MF⊥l;

（Ⅱ）求的最大值.

解：（Ⅰ）设l方程为，

由，得.

设

则

于是

则，得ON的斜率，所以，ON的方程为，得.

这样MF的斜率，所以，从而MF⊥l.

（Ⅱ）

令，

则

由于t=3k2+1>1，故.所以，当.即k=±1时，的最大值为.

评注：第（Ⅰ）问和第（Ⅱ）问之间有一定的关联性，第（Ⅰ）问的证明为第（Ⅱ）问的计算做了铺垫，但都属于过椭圆内一点互相垂直两弦的特例。因此，一方面我们从问题的结论思考：1.过椭圆焦点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交的弦中点与原点连线的直线与相应准线交于一点，该点与焦点的连线与过焦点的直线是否垂直？2.若垂直，在此垂直的条件下，相应的线段长度比的最大值是否为常量？……