孔 进， 李 芳

（上海理工大学 管理学院，上海 200093）

在经济全球化的进程中，供应商的选择越来越多元化，供应链成员之间的关系网络也日益复杂，此时供应链整体网络容易受到各种不可控因素的影响。例如，新冠疫情使得诸多外贸行业的供应链发生中断，疫情严重时期本土的供应链也难以幸免，供应链风险管理变得愈加重要，当供应链发生中断时，企业需要快速作出决策以应对供应链中断带来的损失。

有关时间敏感性供应链的研究中，Ivanov等[1]以澳大利亚乳制品为例来研究供应中断产生的连锁反应对时间敏感性供应链的影响。Palaka等[2]对时间敏感性供应链进行了研究，得到了产品价格和实际交货期的优化决策模型。Zhang等[3]对时间敏感性供应链中产品的定价策略进行研究，提出了分类定价策略。李焕之[4]对云环境下的供应链资源共享进行了博弈分析，建立了云环境下时间敏感性资源的中断恢复策略的博弈模型，通过模型分析发现，制造商合适的援助策略能够缩短供应恢复时间。张雪梅等[5]考虑市场需求量具有网络渠道交付时间敏感性，并在此基础上研究单渠道和双渠道的定价策略问题。谢祥添等[6]考虑市场需求量具有承诺交货时间敏感性和随机性，并以此建立了M/M/1决策模型。朱玉炜等[7]分析了网络直销渠道和传统渠道的定价策略与时间敏感系数的关系。有关供应中断应对策略的研究中，Iyer等[8]建立了恢复成本取决于产能恢复速度的模型，以此研究单供货方-多需求方的供应中断恢复问题。Kumar等[9]在供应中断背景下，分析了零售商不同采购策略对供应链的影响。Li等[10]对制造商存在后备供应商的情况进行研究，分析不同程度的供应中断风险下，制造商是否以及如何使用双源采购策略。Berger等[11]运用决策树模型对供应中断风险下制造商的采购策略进行研究，研究发现，当中断风险较低时，双源供应模式相比单源供应模式更优。Burke等[12]比较了供应不可靠条件下的单源采购与多源采购策略。Gupta等[13]采用博弈分析的方法，对2个供应商和1个零售商在供应商出现供应中断情况下的模型进行分析，具体分析了替代产品定价决策的变化。徐蓉[14]建立国外主供应商、国内备用供应商的双源供应模型，并在其中引入良品率这一概念，研究国外供应商的供应中断对供应链各节点产生的影响。王静等[15]验证了供应中断下保留冗余产能、储备库存及启用备选制造商等应对方案的可行性。李姗姗等[16]考虑发生供应中断时，市场应对中断可能采取以下几种措施：自动留存订单、等待制造商应急完成订单、安全库存完成订单、取消订单，在此情况下构建了中断负面影响最小的最优控制模型。张广胜等[17]基于期权理论，考虑单源主供应商、应急双源采购及单源备用供应商3种策略。何青等[18]考虑供应链存在供应中断风险，在此基础上对制造商的后备采购策略和改善努力策略进行了比较分析。颜荣芳等[19]分析由1个制造商和1个零售商组成的双渠道供应链中，在需求中断下具有提前期的双渠道供应链的风险规避问题。何璐等[20]在碳税背景下考虑供应中断对制造/再制造企业最优策略的影响，结果表明，平均总成本随中断概率的增加而变大。李新军等[21]对由制造商、战略供应商、备用供应商组成的供应链进行研究，得出使用备用供应商的临界值。陈崇萍等[22]分析了在需求与供应不确定下的双源供应，考虑供应商产出随机或供应商存在中断且产出随机的情况，建立制造商和供应商的博弈模型。

以上有关时间敏感性供应链的研究多集中于定价决策，较少分析时间敏感性供应链的供应中断问题，有关供应中断方面的研究主要集中在价格敏感性供应链中（市场需求受价格影响），对时间敏感性供应链研究较少。李焕之[4]进行了时间敏感性供应链（市场需求受价格和时间影响）的供应中断恢复研究，但研究是针对单供应商、单制造商的供应链中断恢复。本文在上述已有研究的基础上[1-2,4,8]，对2个制造商和2个供应商的时间敏感性供应链进行研究，研究发生供应中断时，制造商1和制造商2采取何种策略更优。

1 模型与基本假设

三级供应链系统如图1所示，其中，制造商1采用供应商A单源供应，制造商2采用双源供应（无中断风险时采用供应商A供应，中断发生时可能启用备用供应商B），考虑主供应商A以一定概率由于紧急事件而发生供应中断，研究此时制造商1和制造商2应对供应中断而采取的最优策略。

图1 结构示意图Fig. 1 Structure diagram

基于上述模型，假设：

a. 制造商、供应商、备用供应商均处于云环境之中，制造商1、制造商2、供应商A、供应商B信息共享。

b. 考虑制造商1和制造商2均为供应商A的重要客户，因此，供应商A会在完成所有订单后同一时间将货物发送给制造商1和制造商2。

c. 制造商生产的产品具有时间敏感性，即市场需求量同时受产品价格和制造商交货时间影响。制造商1和制造商2的需求量分别为D1(p1,T)=α1-µp1-βT，D2(p2,T)=α2-µp2-βT,µ＞0,β＞0。其中，µ为价格敏感系数，β为时间敏感系数，p1为制造商1零售价格，p2为制造商2零售价格[23]，T为产品实际进入市场的时间，α1，α2分别为制造商1、制造商2的潜在市场需求量。

d. 本文仅考虑制造商的采购成本，不考虑生产运营成本。

e. 供应商A具有产品价格低、可靠性低的特点，供应商B具有产品价格高、完全可靠的特点。

f. 供应商A发生中断时，实际交货时间延迟造成的损失由供应商A承担。

g. 供应商A与制造商1和制造商2存在长期合作关系，当发生供应中断时供应商A会主动采取措施恢复产能。

h. 考虑制造商2采用备用供应商B时，供应商B的交货时间与供应正常情况下供应商A的约定交货时间相同。

参数设置：

ρ表示主供应商A的供应中断的概率，0＜ρ＜1；r表示商品的残值，r＜w1＜w2；

c1表示供应商A的生产成本；

c2表示供应商B的生产成本；

w1表示制造商向供应商A购买产品的批发价格；

w2表示制造商向供应商B购买产品的批发价格；

c(t)表示供应商A在无援助情况下付出的供应链恢复成本，c(t)=t2-2Ht+F，H为供应商A允许大成本[23]；的最长交货时间，F为供应商A可能付出的最

t表示供应商A实际交货时间；

t0表示供应中断发生时间；

t1表示正常情况下供应商A与制造商1、制造商2约定的交货时间；

t2表示制造商1和制造商2生产时间，本文不考虑制造商1和制造商2生产时间差异；

(i=M,N;j=O,M,N)表示制造商1和制造商2不同策略下，供应商A的期望收益；

(i=M,N;j=O,M,N)表示3种策略下，主要供应商A的期望收益；

(i=M,N;j=O,M,N)表示3种策略下，备用供应商B的期望收益；

其中，i=M表示制造商1采用供应商A供货但不采取援助措施，i=N表示制造商1采用供应商A供货并采取援助措施，j=O表示制造商2采用备用供应商供货，j=M表示制造商2采用供应商A供货但不采取援助措施，j=N表示制造商2采用供应商A供货并采取援助措施。

2 模型的建立与求解

发生突发事件时，供应商A产能陷入瘫痪，供应链发生中断。云环境下，供应商A将中断实际情况告知制造商1和制造商2并承诺会尽可能早地恢复生产，并征求制造商1和制造商2的意见。参考李焕之[4]关于供应链中断时制造商与供应商策略的分析，同时结合本文模型，考虑当供应商A发生供应中断时，制造商1可以采取2种策略：a. 采用供应商A供货但不援助供应商A；b. 采用供应商A供货并援助供应商A。制造商2可以采取3种策略：a. 采用备用供应商B供货；b.采用供应商A供货但不援助供应商A；c. 采用供应商A供货并且援助供应商A。

2.1 制造商1采用供应商A供货但不采取援助措施且制造商2采用备用供应商B供货情形（策略1）

制造商1表示愿意继续采用供应商A供货但不会采取援助措施，制造商2表示将放弃供应商A并采用备用供应商B供应，制造商1和制造商2的各节点时间如图2所示。T1=t1+t2；T2=t+t2。

图2 时间节点示意图1Fig.2 Schematic 1 for time node

T1表示无供应中断情形下产品投入市场的时间，T2表示策略1中制造商1生产产品实际投入市场的时间。

考虑制造商1、制造商2、供应商A之间势均力敌，此时供应商A、制造商1、制造商2的期望利润函数：

命题1存在纳什均衡解，(tMO*,p1MO*,p2MO*)使得供应商A、制造商1、制造商2各自收益最大。

证明由式（4）可知，存在t*（在无援助策略时，tMO*=t*）使得供应商A的期望利润最大，存在p1MO*使得制造商1的期望利润最大，存在p2MO*使得制造商2的期望利润最大。

同时将代入，tMO*p1MO*p2MO*，可得

2.2 制造商1采用供应商A供货但不采取援助措施且制造商2采用供应商A供货但不采取援助措施情形（策略2）

制造商1表示愿意继续采用供应商A供货但不会采取援助措施，制造商2表示愿意继续采用供应商A供货但也不会采取援助措施，制造商1和制造商2的各节点时间如图3所示。T2=t+t2。

图3 时间节点示意图2Fig.3 Schematic 2 for time node

考虑制造商1、制造商2、供应商A之间势均力敌，供应商A、制造商1、制造商2的期望利润函数：

命题2存在纳什均衡解使得供应商A、制造商1、制造商2各自收益最大。

证明方法如命题1所示，本文不在作详细证明，可得

2.3 制造商1采用供应商A供货但不采取援助措施且制造商2采用供应商A供货并采取援助措施情形（策略3）

制造商1表示愿意继续采用供应商A供货但不会采取援助措施，制造商2表示愿意继续采用供应商A供货并承诺援助总资金G来帮助供应商A能尽早完成生产，假设 δ为获得援助后主供应商A的生产产能恢复系数，即此时主供应商A的实际交货期变为tMM=(1-δ)t，制造商的实际交货期变为，设当制造商援助资金为0 时，δ=0，最大调整系数为1/3[4]，制造商1和制造商2的各节点时间如图4所示。

图4 时间节点示意图3Fig.4 Schematic 3 for time node

考虑制造商1、制造商2、供应商A之间势均力敌，供应商A、制造商1、制造商2的期望利润函数：

命题3存在纳什均衡解使得供应商A、制造商1、制造商2各自收益最大。

证明

由式（13）可知，存在t*使得供应商A的期望利润最大，存在p1MO*使得制造商1的期望利润最大，存在p2MO*使得制造商2的期望利润最大，令所以，

将tMM*代入p1MM*，p2MM*可得

2.4 制造商1采用供应商A供货但并采取援助措施且制造商2采用备用供应商B供货情形（策略4）

制造商1表示愿意继续采用供应商A供货并承诺援助总资金L1来帮助供应商A能尽早完成生产，制造商2表示将放弃供应商A并采用备用供应商B供应，假设ψ1为获得援助后主供应商A的生产产能恢复系数，即此时主供应商A的实际交货期变为tNO=(1-ψ1)t，制造商的实际交货期变为，设，当制造商援助资金为0时，ψ1=0，最大调整系数为1/3[4]，制造商1和制造商2的各节点时间如图5所示。

图5 时间节点示意图4Fig.5 Schematic 4 for time node

考虑制造商1、制造商2、供应商A之间势均力敌，供应商A、制造商1、制造商2的期望利润函数：

命题4存在纳什均衡解使得供应商A、制造商1、制造商2各自收益最大。

证明方法如命题3所示，本文不作详细证明，可得

2.5 制造商1采用供应商A供货并采取援助措施且制造商2采用供应商A供货但不采取援助措施情形（策略5）

制造商1表示愿意继续采用供应商A供货并承诺援助总资金L2来帮助供应商A能尽早完成生产，制造商2表示将继续使用供应商A供货，假设ψ2为获得援助后主供应商A的生产产能恢复系数，即此时主供应商A的实际交货期变为tNM=(1-ψ2)t，制造商的实际交货期变为T5=tNM+t2，ψ′(L2)＞0，设当制造商援助资金为0时，ψ2=0，最大调整系数为1/3[4]，制造商1和制造商2的各节点时间如图6所示。

图6 时间节点示意图5Fig.6 Schematic 5 for time node

考虑制造商1、制造商2、供应商A之间势均力敌，供应商A、制造商1、制造商2的期望利润函数：

命题5存在纳什均衡解使得供应商A、制造商1、制造商2各自收益最大。

证明方法如命题3所示，本文不作详细证明，可得

2.6 制造商1采用供应商A供货并采取援助措施且制造商2采用供应商A并采取援助措施情形（策略6）

图7 时间节点示意图6Fig.7 Schematic 6 for time node

考虑制造商1、制造商2、供应商A之间势均力敌，供应商A、制造商1、制造商2的期望利润函数：

命题6存在纳什均衡解使得供应商A、制造商1、制造商2各自收益最大。

证明方法如命题3所示，本文不作详细证明，可得

2.7 模型分析

命题7当制造商1采用供应商A供货但不采取援助措施时，制造商2不同策略下供应商A实际交货时间满足如下关系：

根据命题7可知，当制造商1采用供应商A供货但不采取援助措施时，对比制造商2采用备用供应商B供货和制造商2采用供应商A供货但不采取援助措施的策略，采用供应商A供货但不采取援助的策略的实际交货时间更短，这是由于制造商2选择供应商A供货使得供应商A对未来盈利能力更为乐观，此时供应商A愿意付出成本加快恢复供应链的正常运作。对比制造商2的3种策略，当制造商2愿意对供应商A进行援助时，只有当援助达到一定力度时，才能对供应链的恢复起到正向作用（表现为实际交货时间的缩短），援助力度较小时反而会损害供应链的恢复，甚至制造商2采用供应商A供货并采取援助措施策略的实际交货时间大于制造商2采用备用供应商B。

命题8当制造商1采用供应商A供货并采取援助措施时，制造商2不同策略下供应商A实际交货时间满足如下关系：

命题8、命题9的证明方法与命题7相同，本文不作具体证明。根据命题8可知，在不考虑备用供应商B供货策略时，与命题7结论相似，当制造商1采取一定援助措施后，制造商2采取合适的援助措施能够帮助供应商加快供应链中断的恢复（表现为供应商A实际交货时间的缩短），当援助力度较小时，制造商2的援助策略反而使得供应商A实际交货时间延长。

命题9当制造商2采用3种不同策略时，制造商1不同策略下供应商A实际交货时间满足如下关系：

命题9表明，无论制造商2为了应对供应中断采取何种策略，当制造商1采取合适的援助措施（援助系数大于阈值）都能够加快供应链恢复。

3 算例分析

考虑云环境下2个制造商、2个供应商组成的时间敏感性供应链，供应商A存在供应中断风险时制造商1和制造商2的策略选择问题，参考相关文献[4]，具体设置参数如表1所示。相关参数设置满足文章基本假设，当w1=8时，w2＞8.1，结论恒成立。

表1 相关参数取值Tab.1 Values of relevant parameters

3.1 策略3～6中期望收益与恢复系数关系的数值算例分析

策略3中制造商2对供应商A采取援助措施，此时援助成本由制造商2决定，策略4，5中制造商1对供应商采取援助措施，此时援助成本由制造商1决定。策略6中制造商1、制造商2同时采取援助措施，此时援助成本由两者共同决定。出于公平考虑，本文考虑制造商1和制造商2平均承担援助成本。

图9 策略4中援助系数与制造商1期望收益的关系Fig. 9 Relationship between recovering coefficient and manufacturer 1 expected revenue in strategy 4

图10 策略5中援助系数与制造商1期望收益关系Fig. 10 Relationship between recovering coefficient and manufacturer 1 expected revenue in strategy 5

图11 策略6中援助系数与总体期望收益的关系Fig. 11 Relationship between recovering coefficient and overall expected revenue in strategy 6

根据图8～11可知，当中断概率一定时（图8～11中的中断概率为0.1），制造商1的期望收益、制造商2的期望收益和总体期望收益均随着恢复系数的增加而增大。恢复系数达到一定值后，制造商1的期望收益、制造商2的期望收益和总体期望收益均随着恢复系数的增大而减小。这表明制造商1或制造商2单独进行援助措施时，合适的援助措施能够提高其自身的利润。这是因为援助措施能够引起零售价格和实际交货时间的变动。当制造商1或制造商2采取合适的援助措施时，这种变动带来的收益大于援助成本；当援助成本过高时，这种变动到来的收益低于援助成本，从而导致制造商1或制造商2利润的下降。有关制造商1和制造商2均采取援助措施情形的分析与上文相似，此处不再作具体分析。

图8 策略3中援助系数与制造商2期望收益关系Fig. 8 Relationship between recovering coefficient and manufacturer 2 expected revenue in strategy 3

将策略3、策略4、策略5和策略6在不同中断概率下进行仿真，可知当0＜ρ＜1时，策略3中最优恢复系数为0.032，策略4中最优恢复系数为0.1，策略5中最优恢复系数为0.09，策略6中最优恢复系数为0.146。恢复系数精确至0.001，期望收益精确至0.000 1，最优恢复系数满足任意中断概率，算例分析中均使用最优恢复系数。

3.2 关于制造商生产完成时间数值算例分析

根据表2可知，当供应商A发生供应中断时，制造商1和制造商2均采取援助措施时，供应商A的实际交货时间最短。对比T3与T5可知，制造商1（单独援助时）援助措施相对制造商2（单独援助时）对供应商A供应恢复更为有效。因为，制造商1的产品市场需求量更大，采取的援助力度也会更大。

表2 最优恢复系数下实际交货时间Tab.2 Actual delivery time under optimal assistance factor

3.3 关于制造商2的3种策略数值算例分析

3.3.1 制造商1不援助时制造商2的3种策略数值算例分析

根据表3可知，当制造商1采用供应商A供货但不采取援助措施时，此时制造商2采取策略3（采用供应商A供货并采取援助措施）获得的收益最大，且随着中断概率的不断增大，策略3相对其他2种策略的优势更加明显。

表3 制造商1不援助时制造商2的3种策略期望收益与中断概率的关系Tab.3 Relationship between expected revenue and the probability of interruption in three strategies of manufacturer 2 when manufacturer 1 does not assist

3.3.2 制造商1援助时制造商2的3种策略数值算例分析

根据表4可知，当制造商1采用供应商A供货并采取援助措施时，此时制造商2采取策略5（采用供应商A供货但不采取援助措施）获得的收益最大。对于策略6（采用供应商A供货并采取援助措施），本文考虑制造商1和制造商2平均分摊援助成本，由于制造商1市场需求大于制造商2的市场需求。因此，制造商1以及供应商A会受益于制造商2的援助，但制造商2的收益反而会下降。对于策略4（备用供应商策略），由于备用供应商B批发价格昂贵，因此，制造商2选择此策略期望收益远低于另外2种策略，此时制造商采取策略5较为合适。

表4 制造商1援助时制造商2的3种策略期望收益与中断概率的关系Tab.4 Relationship between expected revenue and the probability of interruption in three strategies of manufacturer 2 when manufacturer 1 assists

3.4 关于制造商1的2种策略数值算例分析

3.4.1 制造商2采用备用供应商B时制造商1的2种策略数值算例分析

根据图12可知，当制造商2采用备用供应商B时，此时制造商1采取援助策略能够获得更多的收益，且中断概率越大，制造商1援助策略获得的超额收益越多。

图12 策略1和策略4中制造商1的期望收益对比Fig. 12 Comparison of expected revenue of manufacturer 1 in strategy 1 and strategy 4

3.4.2 制造商2采用供应商A但不援助时制造商1的2种策略数值算例分析

根据图13可知，当制造商2采用供应商A供货但不采取援助措施时，此时制造商1采取援助策略能够获得更多的收益，且中断概率越大，制造商1援助策略获得的超额收益越多。

图13 策略2和策略5中制造商1的期望收益对比Fig. 13 Comparison of expected revenue of manufacturer 1 in strategy 2 and strategy 5

3.4.3 制造商2采用供应商A并援助时制造商1的2种策略数值算例分析

根据图14可知，制造商2选用供应商A并采取援助措施时，当供应中断风险较低时，此时制造商1采取援助措施，相对不援助策略，制造商1能够获得更高的收益。但当供应中断风险变大时，此时制造商采取援助措施反而会使得自身的收益下降。因此，制造商1应当充分评估供应中断风险大小，及时采取不同的应对策略。

图14 策略3和策略6中制造商1的期望收益对比Fig. 14 Comparison of expected revenue of manufacturer 1 in strategy 3 and strategy 6

4 结论与展望

对二阶时间敏感性供应链进行研究，制造商1采用供应商A单源供应，制造商2采用供应商A供货且拥有备用供应商B。当供应商A发生供应中断时，制造商1可以采取2种应对策略（采用供应商A供货但不采取援助措施，采用供应商A供货并采取援助措施），制造商2可以采取3种应对策略（采用供应商B供货，采用供应商A供货但不采取援助措施，采用供应商A供货并采取援助措施），建立制造商的期望利润方程并通过算例对其进行分析，得到相关结论（制造商1和制造商2采取援助策略时的援助措施均为最优）：

a. 当供应商A发生中断时，制造商1（或制造商2）单独采取援助措施时，合适的援助成本能够使制造商1（或制造商2）获得更高的收益。

b. 当供应商A发生中断时，制造商1和制造商2共同援助时，供应商A实际交货时间最短。当制造商1的市场需求量相较于制造商2更大时，制造商1（单独援助时）的最优援助措施相对制造商2（单独援助时）对供应中断恢复更为有效。

c. 当制造商1采用供应商A供货但不采取援助措施时，制造商2采用供应商A供货并采取援助措施时的期望收益相对其他策略更高；当制造商1采用供应商A供货并采取援助措施时，制造商2采用供应商A供货但不采取援助措施时的期望收益相对其他策略更高。

d. 当制造商2采用备用供应商B供货或采用供应商A供货但并不采取援助措施时，制造商1采用供应商A供货并采取援助措施时的期望收益均高于其他策略；当制造商2采用供应商A供货并采取援助措施时，制造商1策略选择的优劣与中断概率大小有关，当中断概率较小时，制造商1选择供应商A供货并采取援助措施相对其他策略能够获得更高的收益，当中断概率较大时，制造商选择供应商A但不采取援助措施时相对其他策略能够获得更高的收益。

在今后的研究中，可以构建多制造商、多供应商的模型，对时间敏感性供应链中的供应中断问题进行分析。