摘 要：解决反比例函数与面积问题时，一般可以结合k值与面积的基本模型解题，但是在反比例函数几何综合题中往往需要进行面积转化，而等积变形法则是图形面积转化的重要工具之一。文章将举例介绍依托面积模型，利用等积变形巧解反比例函数几何综合题。

关键词：反比例函数;面积模型;等积变形

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）21-0087-02

一、基本模型

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高他们学习数学的兴趣和应用意识。

模型：北师大版教材九上第155页“想一想”中蕴含着反比例函数的矩形面积模型。由数学新课程标准可知，学生要理解函數，并且掌握函数相应表述的方法。

二、基本方法

等积变形是指一个三边长度固定的三角形，三角形的形状在变，面积不变。它在初中阶段是一个难点。在教学中要突破这一难点，教师就要借助各种相关的知识点。根据三角形的相关知识，学生能更便捷地分析解决此类问题。在解决此类问题的过程中，培养学生发现类型题，有助于他们快速形成相应的解题思路，形成系统性的解题思路。

等积变形法：用平行线间的距离相等，可以转移等积的三角形。等积变形法是解决反比例函数的一个关键，教师要帮助学生形成相应的解题思路。在反比例函数中，无论图形如何变化，但最基本的要点是不变的。只要学生形成这一概念，就能形成良好的数学思维。

如图3，AB∥CD，则S?ABC=S?DBC。

三、等积变形在反比例函数面积中的应用

（一）已知平行线直接进行面积转化

教学建议：学生已经学习了平行线及平行四边形的相关知识。学生在掌握原有平行线及平行四边形相关知识的基础上，利用等积变形法，形成解题思路。教师可以让学生在学习中获得成就感，促使学生提高学习积极性，有利于学生去探索数学王国中的奥秘，培养学生的数学思想。

（二）构造平行线进行面积转化

教学建议：在反比例函数教学过程中，有一部分图形并不会直观地呈现在学生眼前，这就需要学生仔细观察图形，并且根据图形的特征有效添加辅助线，而添加辅助线，则是教学中的一个难点，突破这一难点，对提升学生的综合认知能力有极大的促进作用。运用逆向思维添加辅助线是有效解决反比例函数中系列问题的又一大数学方法，活用这一方法，可以让学生思维更具发散性。

四、教学建议

（一）立足文本，开拓思维

子曰：“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。”孔子强调对学生的启发教育，由此及彼，由表及里。教师在数学教学过程中要重视学生愤悱状态，只有当学生处于这样的情形时，教师的点拨启发才能起到拨云见日之效。学生思维的发散性，正是从教师举一而学生能反三的过程中体现出来的。教学固然以教材为纲，但不应局限于题目或书本。教师应该培养学生把书本中的题的本质抽象出来的能力，为学生设一个台阶，让学生“跳起来摘到桃子”。

数学教学不单是得出结果，更重要的是培养学生分析解题的思维。学生通过独立思考，或者思考之后与同学互相探讨，从而获得数学思维上的启发。抑或是学生即使思考之后也误入了思维的死胡同，这时，教师适时的启发能让学生有一种豁然开朗的感觉，这会让学生对数学产生兴趣，学生的思维也必然在此过程中得以拓展。

（二）提升数学能力，提高数学素养

数学能力除了可以在数学课堂中培养，还可以在生活中培养。每个人都离不开数学这一基础学科。只有当数学成为生活中的一部分，学生才能形成数学思维，数学能力才能得到提升。数学可以培养学生的逻辑推理能力，学生应领会数学的严谨性和准确性。

初中数学教师要立足学生已有的知识水平让学生根据图形进行想象，并且在做数据分析的基础上进行基本的数学建模，这为即将进入高中学习的学生打下坚实的基础，从而有效提高学生的数学素养。

结语

数学教材中的模型是我们深入探究数学理论的一扇窗户，也是我们带领学生打开数学思维的大门。教材中的模型因囿于书本，不可能面面俱到，那么在数学教学中，教师就要开启学生的数学思维，让学生领略到模型的万千变化。因为数学模型经过演绎和推断，最终是要回归现实生活的。而模型是一个闭环的过程，它从实践中来，当其形成系统的理论，必然会通过实践的检验。当检验的结果是正确的或者基本正确的话，就可以用来指导实际;反之，则需要重新构建。

在反比例函数几何综合题中灵活运用数形结合思想、转化思想等构造平行线，运用平行线的性质将图形的面积进行转换，结合图性质，再运用反比例函数中与 k 有关的面积模型，就可以将复杂问题简单化，解决综合题就有章可循了。这就要求教师在教学过程中引导学生多多总结一些常见的模型和常用思想方法，这样，学生的数学思维能力就会得到大大的提升。

[参考文献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]罗 峻，段利芳.一组平行线架在双曲线上的中考题剖析[J].数理化学习（初中版），2018（8）：31-34.

作者简介：吴小珍（1983— ），女，中学一级教师，本科，研究方向：数学教育教学。