蔡 俊，李 敏，王 群

(江苏师范大学 物理与电子工程学院，江苏 徐州 221116)

三维波动初值问题(柯西问题)是数学物理方法课程的重要教学内容[1-8], 该问题的求解为物理学后续课程中讨论电磁波的辐射[9]等问题提供了数学基础. 数学物理方法教材中，该定解问题常见的求解方法包括球面平均法[1-5]、傅里叶变换法[6]、一维-三维类比法[7，8]等. 泊松最早提出利用球面平均法求解该问题. 求解过程中, 将三维问题巧妙“降维”为一维问题来求解, 体现了高超的数学思想与求解技巧.

在求解三维波动初值问题前, 教材已经对一维无界与半无界波动初值问题进行了讨论, 这为三维问题的求解提供了借鉴. 然而在三维问题讨论中, 维度的增加导致问题复杂性陡增, 学生往往不易领会球面平均法的求解要领. 深入理解球面平均法, 有利于突破高维坐标系下求解数学物理方程的学习障碍.

教学过程中, 我们发现对球面平均值函数定义的阐释, 以及对平均值函数满足的微分方程的推导, 是理解球面平均法的关键. 本文讨论球面平均值的定义, 阐明球面平均值对多个变量的依赖关系, 并在教材常见推导方法基础上, 提出一种更简洁的推导方法. 通过本文的讨论, 可以澄清球面平均值函数的定义, 为理解球面平均法以及球坐标系下数学物理方程的其他讨论提供参考.

1 球面平均值的定义

三维波动方程初值问题表示为

(1)

这里u(x,y,z,t)表示空间坐标为(x,y,z)的M点在t时刻相对平衡位置的波动位移；……