邹素文

[摘   要]通过研究圆锥曲线中直线过定点问题的求解方法，不仅能简化此类题型的运算，而且能提高学生的解题能力.

[关键词]圆锥曲线;直线;定点

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）20-0021-02

圆锥曲线中直线过定点的问题在各地模拟考试以及高考中经常出现. 这一类问题，一般由过定点的几条动直线与圆锥曲线相交，产生一条动直线，最后研究该动直线是否过定点.通常做法是把直线方程与圆锥曲线标准方程联立，得到关于[x]（或[y]）的一元二次方程，直接求出交点横坐标（或纵坐标），或运用根与系数的关系解决问题.这是解决圆锥曲线问题的通法，但计算繁杂，学生在有限的时间内很难得到正确结果.我们采用逆向思维，将圆锥曲线的标准方程代入直线方程，即将两条直线的一般式方程[l1]：[A1x+B1y+C1=0]和[l2]：[A2x+B2y+C2=0]相乘得到[（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0]，将圆锥曲线的标准方程变形后代入上述直线系方程，消去[x2]（或[y2]项），采用因式分解的技巧得到所要求的直线方程，从而达到减少运算量的目的.

[例1]已知椭圆[x29+y2=1]的左顶点[A]，不過点[A]的直线[l：y=kx+m]与椭圆交于不同的两点[P]、[Q]，当[AP?AQ=0]，求证：直线[l]过定点，并求定点坐标.

分析：这是一道典型的定点问题，常规处理思路：方程化、坐标化和函数化，得到[k]与[m]的等量关系，从而得出直线过定点的结论.

解法1：设[P（x1， y1）]，[Q（x2， y2）]，则直线[l]的方程与椭圆方程联立得[（9k2+1）x2+18kmx+9m2-9=0]，

[Δ=（18km）2-4（1+9k2）（9m2-9）>0?m2<9k2+1].

[x1+x2=-18km1+9k2，x1x2=9m2-91+9k2.]      ①

由[AP?AQ=0]得

[x1x2+3（x1+x2）+y1y2=0]，即

[x1x2+3（x1+x2）+9+（kx1+m）（kx2+m）=0].整理得[（k2+1）x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9=0].将①代入上式得[（m-3k）（5m-12k）=0].

（1）当[m=3k]时，直线[l：y=kx-3k]，过右顶点[（3， 0）]，不合题意.

（2）当[m=125k]时，直线[l：y=kx+125k].

因此直线[l]过定点[-125， 0].

点评：这一思路的获得极为自然，但其运算量特别大，非常容易出错.为了减少复杂的运算，能否不把直线与椭圆联立，采用坐标化，函数化求解呢？由……