俞正强

我们经常听到一种说法，叫“学死了”，或者叫“学活了”。到底怎么样算“学死了”？怎么样又是“学活了”？今天以“植树问题”为例，说明这件事情。

一、“学死”：源于套路的僵硬

在数学学习中，前人概括了许多的公式或数量关系式，因此，数学学习便经常有些“套路”。“套路”上手快，不管为什么，不管来龙去脉，按“套路”走容易做对，容易拿分。老师们在讲这些“套路”时，经常会说一句话：“不要管它为什么，只记住，这样做就对了。”

学生在解决“植树问题”时，通常是按下列流程进行的：

1.仔细读题，确定是植树问题。

2.明确是植树问题三种情况中的哪种情况，写出相应的数量关系式。

3.将数字代入关系式中，列出算式或方程。

4.计算并写好答句。

这个解题流程，即我们所说的“套路”。这个“套路”的核心是三种不同情况的关系式：

两头种：距离÷间距+1=棵数

两头不种：距离÷间距-1=棵数

一头种一头不种：距离÷间距=棵数

按照这个套路，学生面对如下题目时会不知所措：

20米距离，5米种一棵树，共种几棵树？

为什么不知所措呢？因为这道题缺乏一个条件：是两头种？还是两头不种？还是一头种一头不种？

因为题目中没有写明白，所以学生不知道究竟该用哪个关系式，是加1？还是减1？或是不加不减？

试想，在具体生活中，谁会在布置种树任务时加一句：“注意，是两头都种啊！”

是两头种，还是两头不种，属于哪种情况，一定是在具体的环境中的具体应对。对于种树任务而言，大致要求就两个：一是要种多长（或多大）的场地，二是树的间距是多少。

但是，只看这两个条件，学生是无法解决这个问题的。大概这便是一种“学死”的状态吧。

这使我想到了我曾经学习开车时的一段经历。

“倒车入库”是学习开车、领取驾驶证的一项基本内容。

在学习“倒车入库”的时候，教练告诉我：你看车盖上有个白点，是教练特意粘上去的，当这个白点与××对齐时，方向盘就往左打死，然后回正……

我按照这个“法宝”拿到了驾驶证。但是领到驾驶证之后，自己是不敢开车的，生怕出事。为什么？因为离开了考场，车盖上既无白点，车外也无“某物”，方向盘往左打死的时机基本上无从把握。

所谓“学死”，大概面对的是标准的问题，应对的是标准的方法步骤。离开标准的问题，标准的方法步骤便失去了活力。

进一步讨论，现在我在“倒车入库”的时候凭的是什么？还是那套程序吗？显然不是，是自己的一种感觉，我们把这种感觉称为“车感”。这种“车感”肯定是“活”的状态，而每个人的“活”的状态都是从个人的实践中悟出来的。

有人会说，“学死”有什么关系呢？每一个开车的人最后不都“学活”了吗？这么说，听起来似乎十分有道理。事实上，开车这件事情，因为是生活必须，所以不得不开。在不得不开的过程中，每一个开车的人，慢慢地都有自己的琢磨而逐渐“活”过来了，这个“活”过来是由于“生活所迫”。

而植树问题，一旦“学死”了，学生便会因为混乱而害怕这类问题，逃避这类问题，最后逃避数学。这便是知识学习与生存学习的不同。

所以，那样的驾驶证学习，尽管不好但无须改善。而我们的知识学习，一定要考量，如何不把知识给“学死”。

二、“学活”：厘清知识的来龙去脉

为有源头活水来。

“植树问题”的源头活水是什么？这个源头活水是如何流进植树问题的？又是如何带着植树问题流向更宽广的问题解决的？我们用三次“学以致用”厘清这个问题的来龙去脉。

学用之一：平均分，种树种在点上的

1.复习

材料：20米，5米分一段，共分几段？

序一：这个问题怎么解决？

20÷5

序二：为什么用除法解决，而非加法、减法、乘法？

5米一段，5米一段，这是在做一件平均分的事情，所以用除法。

序三：画成线段图是怎样的？

2.新授

（1）种树种在点上的

材料一：20米，5米种一棵树，共种几棵树？

序一：这个问题怎么解决？

学生通常会争论，不知是4还是3或是5，主要是不确定属于三种情况中的哪一种，于是干脆说缺条件，这便是在外面培训班“学死”的结果。

序二：以材料一的线段图为例，讨论如何种树。

种树方案一：

四棵，种树种在中间，间距5米

种树方案二：

五棵，种树种在点上的

种树方案三：

四棵，种树种在点上的

序三：三种种树方案，哪种方案符合20米，5米种一棵？

种树方案一：

结论：种了15米，5米种一棵，不符合要求。

种树方案二：

结论：种了20米，5米种一棵，符合要求。

种树方案三：

结论：种了15米，5米种一棵，不符合要求。

小结：方案二符合要求，一共5棵，种树种在点上的。

（2）平均分的点数比段数多1

材料：①20米，5米分一段，共分几段？

②20米，5米种树一棵，共种几棵？

序一：这两个问题的相同点与不同点分别是什么？

相同：这两个问题本质上都是平均分的问题。

不同：问题①是平均分中的段数，问题②是平均分中的点数。

序二：一段幾个点？两段几个点？三段几个点？

点数比段数多1（段数+1=点数）

（3）植树问题的解决模型

序一：植树问题为什么用除法解决？

因为植树问题本质上是平均分的问题。

序二：植树问题为什么要在平均分的基础上+1？

因为植树是植在点上的，点数比段数多1。

【分析】至此，学生完成了第一次学以致用的经历。“学”的是二年级的平均分，“用”的是四年级的植树问题。植树问题是个生活问题，透过生活问题的表象，我们发现它本质上就是一个平均分的过程，平均分是数学对这类生活问题的把握—因为是平均分问题，所以用除法。

平均分问题带来两个元素，点与段。二年级的时候，点与段混淆在平均分中，没有区别;到了四年级，因为植树问题，点与段这两个元素从平均分问题中清晰起来，这个清晰的过程也是学生深化理解平均分的过程。

在第一次学以致用的过程中，形成如下板书：

②20米，5米种一棵树，          ①20米，5米分一段，

共种几棵？                             共分几段？

20÷5=4                               20÷5=4

4+1=5

学用之二：点与段，还有哪些活也是干在点上的？

任务：刚才我们研究后发现，植树问题其实就是平均分问题，种树是种在点上的，请大家思考一下，这世界上除了树种在点上，还有什么活也是干在点上的？

生1：环卫工人在街上摆放垃圾箱。

生2：电力员工立电线杆。

生3：学校里插红旗，爬楼梯。

生4：排队伍，摆凳子，摆杯子，挂灯笼……

生5：高速公路上建服务区，地铁上建站。

生6：美国选总统。

……

【分析】这个问题的讨论，使学生们从这节课学的植树问题上拓展开，学的是植树，用的是摆垃圾桶、挂灯笼、建服务区等。从一个具体的植树问题到一类现象。通过这一次学以致用的体验，学生们发现，植树问题是一个十分普遍的问题，原来生活中有那么多事其实都是数学的平均分问题，都是“干”在点上的。

学用之三：细加减，具体问题具体办

任务一：今天我们要派出第1小组去植树，20米，5米种一棵，向老师领几棵树苗？第1小组同学到现场一看，发现这块场地上的一头被房子占了，怎么办？

生1：把房拆了。

生2：种房顶上。

生3：少种一棵。

结论：一个点被房占了，就少种一棵，还一棵树苗给老师—20÷5+1-1。

任务二：现在派出第2小组去植树，20米，5米种一棵，向老师领几棵树苗？第2小组同学到现场一看，发现这20米正好在两幢房子中间，怎么办？

生：少种两棵。

结论：两端有房，说明占用了两个端点—20÷5+1-2。

任务三：现在派出第3小组去种树，20米，5米种树一棵，向老师领几棵树苗？他们到现场一看，大家猜，他们遇到什么情况？怎么办？

……

结论：不论什么情况，关键是看有几个点被占了，就减去几个点，具体问题具体对待，即灵活机动。

三、讨论：套路“死”的原因是什么

前面展示了两个教学版本，“套路”基本上就是套用数量关系式且有固定流程，没有经历过三次学以致用的过程。讲套路“死”的原因时，不由自主地想到说书人常用的一句话：且听我慢慢道来。

1. 植树问题的根源在平均分

从平均分开始说。

平均分是对生活原型的概括。平均分这种运算在数学里用除法表示。平均分有有余等分与无余等分两种，将平均分表示为线段模型，则有点和段两个元素。从问题解决的角度看，有余等分对应的问题解决，我们称为“余数问题”;无余等分对应的问题分为两部分：

第一部分是段的问题，如价格问题、行程问题、工程问题等，基本格式是：□÷□;

第二部分是点的问题，如植树问题，基本格式是：□÷□+1 。

将这一段话连成树形图，是这样的，见图1。

图1

从这个树形图上来看，植树问题并非什么难的问题，与价格问题、工程问题、行程问题是同一个水平的问题。现在我们的教材普遍因为植树问题难而弃植树问题于课外，或置植树问题于数学广角之中，正是因为没有理解植树问题的根源在于平均分。

2. 植树问题的基本法与变法

植树问题作为一类问题解决，有其较为固定的方法，我们称为基本法。其基本法作为运算可以描述为：□÷□+1。

但是在实际的劳动情境中，不同的情境要有不同的应对，比如，

一头有房就需要少一棵树，因为有一个点被房占了，得到下列运算：□÷□+1-1;

两头有房就需要少两棵树，因为有两个点被房占了，得到下列运算：□÷□+1-2。

由此可见，在现实生活中，不管遇到什么事，只要思考几个点被占了，或者说少了几个点，减几，就可以了。

一头有房与两头有房是我们列举的例子，实际情况并不止这两种，还有很多种。不管哪一种，万变不离其宗，只要思考少几个点即可。这样，学生在学习植樹问题的时候就算学遍了，学遍了就会从容、淡定。

3. 熟能生巧后的技巧成了套路

植树问题的“理”是平均分。

植树问题的“法”有基本法与变法。

“理”是一以贯之的，“法”是千变万化的。

所有的“法”在实践一段时间后，学生大致都可以熟能生巧，总结出一些技巧，植树问题也是如此。方法用久了之后，总结出大致三种情况。

好，通过以上分析，我们基本明白了植树问题的来龙去脉：

套路的特点就是简单有效，将前人经历过的从理与法中提炼出来的技巧，当成教学的关键，省去了对理的感悟与对法的概括的思考过程，直接接受技巧。这种看似简单有效的教学割裂了知识间的来龙去脉，知识成了碎片，知识碎片越多，学生越容易忘记，这便是“学死”的原因。

正确的做法，将从原型到道理再到方法的过程，由老师陪着学生一起经历，将技巧的得到过程留给学生本人完成。因为技巧是个人化的，方法是可通用的，道理是一以贯之的，我们的学习不要局限于那些个人化的东西之上。

四、数学中类似的技巧教学

在小学数学中，有许多类似的技巧教学，比如，

看见“和”就用“+”，

看见“每”就用“÷”，

看见“共”就用“×”，

看见“剩”就用“-”。

这是一二年级用“+、-、×、÷”解决问题时的技巧。

如果题目这样出：小明昨天剩2根，今天剩3根，一共剩几根？

學生就非常纠结，看见“共”要用“×”，看见“剩”要用“-”，题目好像用“+”，怎么办？

再如，列方程解决问题，学生经常不知道设谁为x，老师又教给学生一些技巧：求谁就设谁为x。

当出现需要设中间量为x的时候，学生又不会了。

……

在数学里，这样的“窍门”太多了，我们经常把这些“窍门”当成好方法，结果学生越学越混乱，以致乱成一个死局。

知识“学死”与“学活”的原因应该有很多，本文只是提出了许多原因中的一个。个人认为这个原因带有普遍性，且十分重要。从技巧回到方法原理中，学习就会有味道，这就是种子课的意义。

（作者系浙江省金华师范学校附属小学校长）

责任编辑：胡玉敏

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