赵 寒，何洪津

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

特征值互补问题(Eigenvalue Complementarity Problem，ECP)是源于工程力学中的一类重要问题[1]。近年来，此类问题已被推广至张量形式，并称为张量特征值互补问题[2-3]。在特征值互补问题的内嵌矩阵为严格协正矩阵条件下，Júdice等[4]证明了特征值互补问题至少有一个解，且可等价转化为一个变分不等式问题。特别地，若相关矩阵为对称的，特征值互补问题还可转化为单纯形约束的瑞利商极大化问题。从转化后的等价形式上分析，瑞利商极大化问题为一般的约束优化模型，可采用谱投影梯度算法(Spectral Projected Gradient, SPG)[5]进行求解。目前，针对特征值互补问题提出的众多有效算法中，谱投影梯度算法是最受欢迎的方法之一，并被推广至求解张量特征值互补问题[6-7]。但是，谱投影梯度算法并未充分利用单纯形约束的特殊结构，每次需调用子程序来实现单纯形集合的投影。另外，谱投影梯度算法需调用线搜索寻找合适步长以保证目标函数值有一定的增长。对于大规模问题，线搜索无疑会增加计算成本。近年来，针对可分离结构优化问题设计的交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)在大规模图像处理、机器和统计学习等领域取得了巨大成功[8]。为了提高特征值互补问题的求解效率，本文引入辅助变量，将单纯形约束进行分离，使得瑞利商优化模型变成可分的优化问题。在此基础上，采用交替方向乘子法对新模型进行求解，使其子问题都具有封闭解，达到有效规避单纯形约束的投影计算和线搜索循环过程的目的。……