金曼莎，章仁江，王子睿

(浙江工商大学统计与数学学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

Bernstein不等式是多项式或三角多项式导数的一种估计式，Markov不等式是一种多项式的导数不等式，这2个不等式在函数逼近论、计算数学中有重要的应用，尤其加权Bernstein-Markov不等式在多项式的带权逼近等研究方面起着重要的作用。Bernstein-Markov不等式中的最佳常数仍然是一个未解决的问题，是许多国内外学者关注的对象[1]。近年来，各种范数下的Bernstein-Markov不等式有所发展，文献[2]用矩阵的最大特征值的平方根刻画了几种不同权函数的Bernstein-Markov不等式的最佳常数，但文献[3]指出文献[2]中的最佳常数是错误的。文献[4]计算出权为e-x的Bernstein-Markov不等式的渐近精确常数。文献[5]给出了各类推广形式的Bernstein算子的加权Bernstein-Markov型不等式及正逆定理。文献[6]证明了在许多情况下，指数型Bernstein-Markov不等式中的常数是n次代数多项式在n→∞时相应不等式中常数的极限。文献[7]研究了序列和多项式的离散加权Markov-Bernstein不等式，并给出了相应的最佳常数。本文主要研究勒让德正交多项式所对应的二阶导Bernstein-Markov型不等式，给出一个使不等式成立的较小常数，并证明这个最佳常数的阶数为8。

1 定理及证明

定理设f(x)为1个次数不超过n次的多项式，则

其中常数的阶数8是不可改进的。

证明设Pn(x)为n次Legendre多项式，由Legendre多项式的积分性质[8]可得：

(1)

由Legendre多项式的导数递推公式可求得：

P′n(x)=(2n-1)Pn-1(x)+P′n-2(x)=

(2n-1)Pn-1(x)+(2n-5)Pn-3(x)+P′n-4(x)=

…=

(2)

f(x)为1个次数不超过n次的多项式，则f(x)可以用Pn(x)的线性组合来表示，即存在唯一的实数ai(i=0,1,…,n)使得：

f(x)=anPn(x)+an-1Pn-1(x)+…+a1P1(x)+a0P0(x)

则

(3)

当n为奇数时，对f(x)求一阶导，得到：

f′(x)=anP′n(x)+an-1P′n-1(x)+…+a1P′1(x)=

(2n-1)anPn-1+(2n-3)an-1Pn-2+(2n-5)(an+an-2)Pn-3+…+

3(an-1+…+a2)P1+(an+…+a1)P0

对f′(x)继续求……