陈小雕，姜霓裳

(1.杭州电子科技大学计算机学院，浙江 杭州 310018；2.杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

不等式的估算及其证明在通信等领域有着较为广泛的应用。对Cusa-Huygens不等式的研究引起学者们广泛的兴趣，包括逼近函数采用由cos(x)和sin(x)组成的有理形式的函数[1-5]，或采用由sin(x)和tan(x)组成的非有理形式的函数[6-12]。逼近函数形式越简单、逼近误差越小，对应不等式得到的应用更好更广泛。Cusa-Huygens不等式研究方面，大部分集中在逼近误差或逼近阶的改进[13-16]。相当条件下，对应不等式的误差越小，越有可能得到更好更广泛的应用。为了进一步改善逼近误差或提高逼近效率，本文讨论了结合Padé逼近和重新参数化技术的方法，在相当条件下可以获取比已有方法更小的逼近误差。

1 Cusa-Huygens不等式及改进

2018年，Zhu[15]提出更正后的Frame不等式：

(1)

2019年，Zhu[16]发表了具有上下边界条件的不等式，即对于∀0

(2)

(3)

式中，常数m1≈92.964,m2≈899.040。

本文结合Padé逼近与重参数化方法的思路，采用Padé逼近技术，将式(1)—式(3)中的边界函数一般化，得到以下的函数形式：

令

可得δ(0)=δ″(0)=0。求解下列2个约束方程

δ′(0)=δ(3)(0)=0

(4)

可以得到a=3,b=2，即式(1)中的f1(x)。

令

易得δ1(0)=δ1″(0)=0，通过解约束式(4)，得到a=6,b=2，即

通过求解

(5)

2 主要结论

记函数R1(x),Ri(x),α1(t),α2(t)，

(6)

α1(t)=7cos3(t)+294cos(t)+644

(7)

α2(t)=2cos4(t)+4cos3(t)+81cos2(t)+448cos(t)+410

(8)

为方便说明，令

其中s0是方程s3+2s2+92s-32=0在[0,1]上的实根。

由式(6)—式(8)，可得：

(9)

同时可以验证得到

(10)

将文献[16]的引理2和引理3综合成如下引理。

引理1[16]对于t∈(0,π]，函数

引理2下列不等式成立

(11)

从式(11)可得，R4(t)在区间(0,t1]单调递增，即∀0R4(0)=0。同理，R4(t)在区间(t1,π/2]单调递减，且有R4(π/2)<0,R4(t1)>0。因此引理2得证。

引理3在区间(0,π/2]内存在唯一解t1，使得

(12)

另一方面，由于α2(t)>0,(0

于是，得到本文的主要结论。