王楠 闫琳静 王瑜

【摘要】线性规划模型是广泛应用于科学研究、经济管理、工程技术和军事作战等方面的一种数学模型.本文主要探讨线性规划模型在运输问题中的应用，并针对运输系统中的优化决策问题，探讨如何应用线性规划模型进行优化分析，从而得到优化方案，合理地解决运输问题.

【关键词】线性规划;数学模型;运输问题

引 言

在我们的生产生活中，经常会遇到有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的人力、财力、物资等资源，进行合理的计划、安排，获得最佳的效益，如产品利润最大，运输费用最少等问题.像这样寻求在一定约束条件下使某个指标达到最优的问题，就是规划问题，线性规划是解决此类问题的一种有效的方法.

一、线性规划概述

线性规划的想法早在1832年就已出现，1939年，苏联数学家康托洛维奇提出了线性规划问题，直到1947年，美国数学家丹捷格提出一般线性规划问题求解的方法，从此以后，线性规划问题在理论上日趋成熟，在实际应用中也愈加广泛和深入.

线性规划是运筹学这门应用科学的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，是数学规划的一个重要组成部分.数学规划所考虑的问题是如何按照最优的方式计划一系列相互关联的活动的集合.当数学规划的目标函数和约束函数都是线性函数时，称这个数学规划为线性规划.

二、线性规划的数学模型

线性规划研究的是在线性约束条件下线性目标函数的极值问题的一种数学理论和方法，其本质就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性函数的极值问题.如何建立线性规划问题的数学模型？通常情况下，首先确定决策变量，决策变量就是待求的未知数，决策变量的选取不是唯一的，但决策变量的选取是否恰当，直接影响着建立数学规划模型的难易程度，它是建立模型最为关键的因素.然后确定目标函数，即要达到的目标，用决策变量的表达式来表示.最后确定约束条件，即为实现优化目标受到的限制条件，用决策变量的等式或者不等式来表示.线性规划模型的标准型用数学语言描述如下：

线性规划模型的标准型具有决策变量全部大于或等于零、约束条件全部为线性等式、限定系数全部是非负值、目标函数求最小值或最大值这些特征.如果线性规划问题不是标准型，则可通过一系列的数学变形转化为标准型.

要解决线性规划问题，从理论上讲就要解线性方程组，因此解线性方程组的方法以及行列式、矩阵的知识，是线性规划中非常必要的工具.线性规划问题常用的

求解方法有图解法、单纯形法，除此之外，还可以借助软件求解，经常用来解决线性规划问题的数学软件有Mathematica，Matlab，Lingo，Lindo等，普通计算机中的Excel软件也能解决线性规划中的计算问题.

三、线性规划中的运输问题

在生产生活中经常遇到运输问题，比如，一批物资从若干个供应点运送到一些需求点，怎样安排运输方案能使运输费用最省？各种类型的货物装箱，因为受到体积、重量等条件的限制，如何搭配装载，使装箱数量最少？像这样的输送分配规划问题，被称为运输问题.线性规划在运输问题中的应用是美国学者希奇柯克在1941年开始研究的，他在制定交通运输方面的文章中研究和应用了线性规划方法.此后，越来越多的研究者开始关注和研究各类线性规划中的运输问题.

1.产销平衡的运输问题

通过计算结果可知，从A1到B1的运输量为17吨、从A1到B2的运输量为10吨、从A1到B3的运输量为0吨、从A2到B1的运输量为0吨、从A2到B2的运输量为8吨、从A2到B3的运输量为15吨，这样调运消毒液，总运费最少，最少运费为3650元.

2.产销不平衡的运输问题

在实际的运输问题中，产销往往是不平衡的，这时，就需要把产销不平衡的问题转化成产销平衡的问题来解决.

当总产量大于总销量，即∑mi=1ai>∑nj=1bj时，这种运输问题为产销不平衡的运输问题.求解这类问题时，要增加一个假想的销售地，在单位运价表中将从各个生产地销售到假想地的单位运价都设为0，这样就把一个产大于销的不平衡运输问题转化为产销平衡的运输问题了.

当总产量小于总销量，即∑mi=1ai<∑nj=1bj时，这也是产销不平衡的运输问题，同样可以转化为产销平衡的运输问题来解决.具体方法是假想一个生产地，把从这个假想的生产地运输到各个销售地的单位运价设为0就可以了.

总 结

运输问题是有关物资的调运和配置的一类特殊的线性规划问题.运用运输问题的线性规划模型时需要知道供应量、需求量、单位成本等参数.对于产销平衡的运输问题，可以利用线性规划模型直接求解.对于产销不平衡的运输问题，则要先转化为产销平衡的情况再求解.在经济全球化和电子商务的双重推动下，越来越多的运输问题可以利用线性规划模型来解决，以促进经济效益的提升.

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