唐骁 叶继坤

摘要：针对高速机动目标拦截问题，提出了一种基于分数阶滑模控制理论的制导律设计方案。首先借助Fast Terminal滑模面设计思路，在Fast Terminal滑模动态面中引入视线角速率的分数阶项，构建分数阶动态滑模超平面，然后，结合分数阶微积分理论，在分数阶动态滑模超平面的基础上推导出分数阶滑模制导律，利用无穷状态方法与Lyapunov稳定性理论证明了分数阶滑模制导律的稳定性。仿真结果表明，该制导律可使导弹视线角速率在2 s内收敛，平均过载较小，且具有更高的制导精度，终端脱靶量在0.5 m以内。

关键词： 制导律;分数阶滑模;无穷状态方法;有限时间收敛;高速机动目标;拦截

中图分类号：TJ765; V448   文献标识码： A  文章编号： 1673-5048（2021）02-0021-06

0 引  言

近年来，弹道导弹和临近空间高超声速飞行器等高速机动目标威胁不断涌现，其速度在马赫数5以上，无固定弹道，能长时间大范围持续机动，可对数千或上万公里外的军事目标实施全球打击，给传统的导弹拦截系统带来了严峻的挑战。学者采用了许多方法来研究针对高速机动目标拦截的导引律，主要有基于比例导引的制导律[1-3]，比例导引律（PNG）因其形式简单，执行效率高而被广泛研究和应用，如果目标无机动，PN制导律具有不错的制导精度，但在有目标机动的情况下，其制导精度不高。文献[4]提出了一种基于预测控制的三维微分对策制导律，能在目标机动的情况下满足能量消耗和制导精度等性能指标，但计算过程复杂，需要信息较多。文献[5]基于L2增益鲁棒控制理论设计了L2增益制导律，可使视线角速率在有限时间内收敛到零，制导精度较高，但是没有对能量消耗进行控制。文献[6]针对拦截临近空间高速机动目标，基于有限时间理论，设计了有限时间收敛制导律，能实现对目标直接碰撞拦截，但过载指令变化剧烈，对执行器要求较高。

随着分数阶微积分（Fractional order calculus，FOC）理论的发展，FOC的工程应用越来越广泛[7-9]。不像整数阶微分的不连续变化，FOC将传统的整数阶微积分的阶次推广到了非整数阶，其反映的不再是点或者局部的性质，而是综合考虑了历史和全局分布式的信息[10]，具有记忆和时间依赖性的现象。FOC的主要优点是参数少，形式简單，具有特殊记忆功能和稳定特性，在制导和控制领域得到了越来越多的应用。

文献[11]设计了一种新的分数阶张力控制律，用于控制空间绳系统的快速稳定。文献[12]提出了一种求解分数阶系统最优控制问题的方法。文献[13]对不同的分数阶超混沌系统的控制时间进行了分析。文献[14]将FOC控制器应用于弹体姿态控制，其控制效果优于经典PID控制。文献[15]结合FOC理论和PN制导律，提出了PDλ制导律，避免了PN制导律的缺点，有较高的制导精度和较短的拦截时间。文献[16]针对机动目标拦截问题，设计了一种基于FOC理论的新型三维末制导律，制导精度高，拦截时间短，过载变化较为平稳，解决了传统 PNG末端视线角速率发散导致的过载激增问题，但对于高速机动目标的拦截性能没有研究。

在临近空间高超声速目标或者导弹类目标拦截中，常采用零化视线角速率和有限时间收敛理论设计制导律，这类制导律虽然拦截精度高，但过载变化剧烈，总能量消耗较大。为此，本文结合FOC和有限时间收敛理论提出分数阶滑模制导律。经仿真验证，分数阶滑模面收敛性能优于整数阶滑模面，使得过载变化平缓，能在目标机动的情况下输出较小的过载，达到更高的制导精度且能量消耗更小。

1 预备知识

分数阶微积分算子可以表示如下：

综上所述，本文所设计的分数阶滑模制导律能通过选取适合的参数，使得视线角速率在有限的时间内到达滑模面，并最终沿着滑模面收敛至零。

4 仿真分析

为验证分数阶滑模制导律（FOSMG）的有效性，在纵向平面内，目标采用圆弧机动和正弦机动两种情形进行数值仿真，并与快速终端滑模制导律（FTSMG）和比例导引律（PNG）进行对比。

4.1 仿真条件

导弹的自动驾驶仪模型可表示为[19]

T=ω2n（τs+1）（s2+2εωns+ω2n） （38）

在此自动驾驶仪时间常数τ为0.5 s，阻尼常数ε取0.6，频率ωn取18 rad/s。

首先定义仿真初始参数，拦截器与目标的初始位置为RM=[016 000]m和RT = [35 000 20 000] m。拦截器初始速度VM =1 500 m/s，初始速度方向角为20°，目标初始速度VT=1 800 m/s，初始速度方向角为180°。设目标机动方式已知，视线角速度由红外导引头获取[20]，弹目相对速度和距离通过射频制导雷达获取。

制导律能量消耗性能指标选取如下：

J=∫Tend0a2M/Tend

制导律参数选取如表1所示。

4.2 目标圆弧机动

目标以3g的纵向过载做圆弧机动，仿真结果如图3～5所示。

图3给出了在目标做圆弧机动情况下，纵向平面内的拦截弹与目标运动轨迹。结合图4～5，在拦截过程中，PNG视线角速度变化缓慢，逐渐增大，最后过载趋于饱和。而FOSMG和FTSMG在制导拦截过程前期可以输出较大的过载使得视线角速率很快收敛，在制导后期过载变化较小，拦截弹可用过载大，以应对目标后续机动影响。 表2记录了脱靶量、燃料消耗和拦截时间，结果表明：FOSMG能够在与FTSMG拦截时间相当的情况下具有更小的脱靶量，相比于FTSMG脱靶量减小了35%，且能量消耗更少，PNG脱靶量较大。

4.3 目标正弦机动

目标做正弦机动，目标的纵向过载变化规律为

仿真结果如图 6～ 8所示。

图6中，FOSMG的弹道介于PNG与FTSMG之间，弹道最为平直，最接近零控拦截的状态。结合图7～8，FOSMG与FTSMG都能在制导初期做出較大机动来调整弹道，使拦截弹达到零控拦截的状态。随着目标机动，视线角速率发生变化，FTSMG一直施加较大过载，调整拦截弹跟随目标机动，对目标机动进行补偿，使视线角速率一直稳定在零附近。FOSMG在制导初期过载略大于FTSMG，对视线角速率的调整更迅速，收敛速度更快，具有更高的制导精度，最大过载小于FTSMG。

表3考察了目标正弦机动时不同制导律的拦截能力。PNG脱靶量很大，无法对目标进行直接碰撞拦截。FOSMG能量消耗略小于FTSMG。相对于FTSMG，FOSMG具有更小的脱靶量。

5 结  论

针对高速机动目标的拦截模式和制导需求，本文提出了一种基于分数阶滑模控制的制导律设计方法。仿真结果表明，FOSMG能够实现对目标的精确拦截，且能量消耗更小，在迎头拦截高速机动目标时具有良好的拦截性能。

FOSMG不含切换项，没有抖震，过载整体变化平稳，最大过载较小，有利于弹上实现。分数阶的计算需要对历史数据重复计算，解算时间长，可以设计并行算法，缩短解算时间，随着弹上计算机的计算能力增强，工程应用是可行的。

虽然能通过无限状态方法和Lyapunov稳定性理论证明视线角速率沿着分数阶滑模面收敛，但收敛时间和收敛方式由分数阶的阶次等多个参数决定，各个参数间的关系以及如何选取具有最优拦截性能的参数还需进一步探究。

参考文献：

[1] 王荣刚，唐硕. 拦截高速运动目标广义相对偏置比例制导律[J]. 西北工业大学学报，2019，37（4）： 682-690.

Wang Ronggang，Tang Shuo. Intercepting Higher-Speed Targets Using Generalized Relative Biased Proportional Navigation[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University，2019，37（4）： 682-690.（in Chinese）

[2] 周觐，雷虎民. 真比例导引反高速目标拦截能力分析[J]. 系统工程与电子技术，2018，40（10）： 2296-2304.

Zhou Jin，Lei Humin. Interception Capability Analysis of the True Proportional Navigation Guidance Law Against Hypersonic Targets[J]. Systems Engineering and Electronics，2018，40（10）： 2296-2304.（in Chinese）

[3] 李辕，赵继广，闫梁，等. 拦截高速机动目标三维联合比例制导律设计[J]. 北京航空航天大学学报，2015，41（5）： 825-834.

Li Yuan，Zhao Jiguang，Yan Liang，et al. United-Proportional-Navigation Law for Interception of High-Speed Maneuvering Targets[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2015，41（5）： 825-834.（in Chinese）

[4] 常晓飞，孙博，闫杰，等. 针对高速机动目标的三维非线性微分对策制导律[J]. 弹道学报，2018，30（3）： 1-6.

Chang Xiaofei，Sun Bo，Yan Jie，et al. Three-Dimensional Nonlinear Differential Game-Based Guidance Law Against High-Speed Maneuvering Target[J]. Journal of Ballistics，2018，30（3）： 1-6.（in Chinese）

[5] 张旭，雷虎民，李炯，等. 基于改进视线坐标系的三维L2-增益制导律研究[J]. 固体火箭技术，2014，37（4）： 463-468.

Zhang Xu，Lei Humin，Li Jiong，et al. Three-Dimensional Gui-dance Law with L2-Gain Based on Modified Line-of-Sight Coordinate System[J]. Journal of Solid Rocket Technology，2014，37（4）： 463-468.（in Chinese）

[6] 段美君，周荻，程大林. 基于有限时间理论的临近空间拦截器末制导律PWPF调节器研究[J]. 航空学报，2018，39（1）： 273-282.

Duan Meijun，Zhou Di，Cheng Dalin. Development of Terminal Guidance Law and PWPF Modulator for Near Space Interceptor Based on Finite Time Theory[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2018，39（1）： 273-282.（in Chinese）

[7] Pop C I，Ionescu C，De Keyser R，et al. Robustness Evaluation of Fractional Order Control for Varying Time Delay Processes[J]. Signal，Image and Video Processing，2012，6（3）： 453-461.

[8] Caponetto R，Dongola G，Fortuna L，et al. Fractional Order Systems[M]. Singapore： World Scientific，2010.

[9] Hu X R，Song Q，Ge M，et al. Fractional-Order Adaptive Fault-Tolerant Control for a Class of General Nonlinear Systems[J]. Nonlinear Dynamics，2020，101（1）： 379-392.

[10] Azar A T，Taher A，Vaidyanathan S，et al. Fractional Order Control and Synchronization of Chaotic Systems[M]. Springer International Publishing，2017.

[11] Sun G H，Zhu Z H. Fractional-Order Tension Control Law for Deployment of Space Tether System[J]. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2014，37（6）： 2057-2062.

[12] Almeida R，Torres D F M. A Discrete Method to Solve Fractional Optimal Control Problems[J]. Nonlinear Dynamics，2015，80（4）： 1811-1816.

[13] Vishal K，Agrawal S K，Das S. Hyperchaos Control and Adaptive Synchronization with Uncertain Parameter for Fractional-Order Mathieu-van der Pol Systems[J]. Pramana，2016，86（1）： 59-75.

[14] 史金光，王中原，常思江，等. 制導弹箭分数阶控制系统[J]. 南京理工大学学报：自然科学版，2011，35（1）： 52-56.

Shi Jinguang，Wang Zhongyuan，Chang Sijiang，et al. Fractional-Order Control Systems for Guided Projectiles[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology： Natural Science，2011，35（1）： 52-56.（in Chinese）

[15] 王飞，雷虎民. 基于分数阶微积分PDλ比例导引制导规律[J]. 控制理论与应用，2010，27（1）： 126-130.

Wang Fei，Lei Humin. PDλ Guidance Law Based on Fractional Calculus[J]. Control Theory & Applications，2010，27（1）： 126-130.（in Chinese）

[16] 叶继坤，韦道知，李炯，等. 基于分数阶微积分理论的新型三维末制导律[J]. 固体火箭技术，2016，39（3）： 428-435.

Ye Jikun，Wei Daozhi，Li Jiong，et al. Novel 3D Terminal Gui-dance Law Based on the Theory of Fractional Order Calculus[J]. Journal of Solid Rocket Technology，2016，39（3）： 428-435.（in Chinese）

[17] Yu S H，Yu X H，Man Z H. Robust Global Terminal Sliding Mode Control of SISO Nonlinear Uncertain Systems[C]∥Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control，2000： 2198-2203.

[18] Trigeassou J C，Maamri N，Sabatier J，et al. A Lyapunov Approach to the Stability of Fractional Differential Equations[J]. Signal Processing，2011，91（3）： 437-445.

[19] Srivastava R，Ghose D，Sarkar A，et al. Three Dimensional Nonlinear Inverse Dynamics Guidance Law for Parallel Navigation[C]∥AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhi-bit，2004.

[20] 赵杰，王君，张大元，等. 反临近空间高超声速飞行器中末交接视角研究[J]. 飞行力学，2015，33（3）： 253-256.

Zhao Jie，Wang Jun，Zhang Dayuan，et al. Visual Angle Research for Midcourse and Terminal Guidance Hand-over of Near Space Hypersonic Vehicles[J]. Flight Dynamics，2015，33（3）： 253-256.（in Chinese）

Fractional Sliding Mode Guidance Law for

High Speed Maneuvering Targets

Tang Xiao，Ye Jikun*

（Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xian 710051，China）

Abstract： Aiming at the interception problem of high speed maneuvering targets，a guidance law design scheme based on fractional-order sliding mode control theory is proposed. First，with the idea of fast terminal sliding mode plane，fractional order terms of line-of-sight angle rate are introduced into the fast terminal sliding mode dynamic plane to construct a fractional order dynamic sliding mode hyperplane. Then，combined with fractional calculus theory，the fractional sliding mode guidance law is derived on the basis of fractional dynamic sliding mode hyperplane，and the stability of fractional sliding mode guidance law is proved by using infinite state method and Lyapunov stability theory. The simulation results show that the guidance law can make the line-of-sight  angle rate converge within 2 s，the average overload is small，the guidance accuracy is higher，and the terminal miss distance is within 0.5 m.

Key words： guidance law;fractional sliding mode;infinite state method;finite time convergence;high speed maneuvering target;interception

收稿日期：2020-08-28

基金項目：国家自然科学基金项目（61703421）

作者简介：唐骁（1995-），男，四川安岳人，硕士研究生，研究方向是飞行器制导控制。

通讯作者：叶继坤（1984-），男，山东聊城人，副教授，研究方向是飞行器制导控制。