高四红

(广东省中山市桂山中学 528463)

一、引言

函数一直以来都是考查的重点，很多时候，其相关试题看似难度较大，但是只要认真掌握相关特征规律，在解题时若能正确合理地运用，会使得解题过程高效简洁.下面笔者结合实例来谈谈运用函数单调性高效解题.

二、实例分析

1.运用函数单调性解方程

评注此类方程很多同学觉得头疼，会直接考虑移项，两边平方去根号的策略进行解决，这样可以解出想要的结果，但也势必造成解题效率低下，本题应基于函数观点进行考虑，结合单调性进行处理，这样可以大大减少计算量，并且巧妙地避免了讨论及利用平方可能带来的增根检验问题，达到简洁高效的效果.

例2解方程5x+12x=13x.

评注此题的难点在于证明其解的唯一性.很明显x=2是该方程的一个实数解，但是通过构造函数，结合指数函数的单调性进行判断所构造函数的单调性是解答此题的思维痛点，在巧妙利用单调性的基础上，该题得到了完美的解决，数学的美感得到了很好的诠释.

2.运用函数单调性解不等式

例3对任意的a>0且a≠1，求不等式(2logax+3)3>(logax)3-3(logax)2+logax2-5的解集.

解析很明显的换元套路，令t=logax，那么该不等式变为(2t+3)3>t3-3t2+2t-5，进一步变形为(2t+3)3+(2t+3)>(t-1)3+(t-1)，下面考虑构造函数f(x)=x3+x，求导得f′(x)=3x2+1>0，那么该函数在(-∞,+∞)上单调递增，所以2t+3>t-1，解得t>-4，所以logax>-4，logax>logaa-4，若a>1，解得x>a-4；若0

评注此题在对数函数换元时，同学们应该注意到由于对数函数的值域是(-∞,+∞)，所以不用对t进行变化范围限制，此处虽然无需进行限制，但是更多的时候，换元之后会发生新变量的定义域变更，这点值得注意.换元之后产生了本题最大的难点，将函数移项整体配方成想要的形式，为什么会想到配方？主要考虑将整个式子单纯……