刘稳殿 柯遵友

(陕西省白河县白河高级中学 725800)

人们对于求解一元三次方程的根有着执着的追求，例如卡尔丹、范盛金分别给出了求一元三次方程根的方法与公式.文献[1]重温了卡尔丹的求解过程，文献[2]在研究多项式函数零点的共性与个性时详细介绍了盛金公式，盛金公式对于研究三次函数的零点做出了极大的贡献.2018年全国Ⅱ卷文科数学高考导数题的第(2)问就是一个有关三次函数零点的问题，文献[3]对于此题的解法有着详细的描述.本文利用盛金公式重新证明了该高考题的第(2)问.

一、盛金公式内容

对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a,b,c,d∈R，且a≠0)，有重根判别式：A=b2-3ac，B=bc-9ad，C=c2-3bd，总判别式：

Δ=B2-4AC

当A=B=0时，盛金公式①：

当Δ=B2-4AC>0时，盛金公式②：

当Δ=B2-4AC=0时，盛金公式③：

当Δ=B2-4AC<0时，盛金公式④：

二、盛金判别法

当A=B=0时，方程有一个三重实根；

当Δ=B2-4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；

当Δ=B2-4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；

当Δ=B2-4AC<0时，方程有三个不相等的实根.

三、盛金公式应用

(1)若a=3，求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点.

解析(1)利用导数的常规解法，略.

所以方程f(x)=0只有一个实根.

即f(x)只有一个零点.

四、总结

盛金公式在求解三次函数零点问题时有着优于分离参数法及讨论极值法的便捷与迅速.但导数题中非三次函数的零点问题更适合利用导数工具进行分离参数或讨论极值等方法进行求解.