杨亦逸

(上海交通大学科学史与科学文化研究院 上海 200240)

1 引言

最速降线问题在数学史上是因约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667-1748)向全欧洲的数学家们发出挑战而闻名于世的.在1696年6月的《教师学报》(Acta Eruditorum)上，他以“新问题——向数学家们征解”为题，将问题表述成如下叙述：

“给定垂直面上的两个点A和B，一个质点M受重力作用，从A点开始，在最短的时间内到达B点，曲线AMB会是怎样的？”[1]

他称这条曲线为“最速降线”(拉丁转写brachistochrone，源自于希腊语βρàχιστοʂχρòνοʂ)，由希腊语中的“最短”和“时间”两个词合成而来；拉丁语“brachisto”的含义是最短的，“chronos”的含义为时间，因此这一问题字面意义应为求“最短时间”问题.最速降线问题的特殊性在于，它与之前运用微积分分析求极大值和极小值的问题大异其趣，而是需要求出一个满足条件的函数(即曲线的方程)，这是微积分出现以来还未涉足的领域.约翰自己也在公布解法的信中如是说道：

“到现在为止，已经出现了许多处理最大值和最小值的方法，但似乎与此主题之间没有什么微妙的联系，以至于无法被他们的洞察力所参透……即使是那些知名人物，如笛卡尔、费马等，也一定会坦率地承认，他们的权威方法在这里是不充分的……在他们的著作中，我们没有发现对这种类型的极大值和极小值问题的考量，他们并没有将方法普遍化地运用.”[2]

由此观之，约翰敏锐的数学嗅觉使他敏锐地触及了这一问题更深层次的意涵：新的问题需要有新的、普遍的方法来解决，过去的方法已然不