邵秋晨

坐标是近代数学基础核心课程内容之一，直接关系到我国数学课程的发展与完善，对于数学课程学习中有关坐标所接触的内容及其重要性值得深入探究。坐标是解析几何的基本概念，且涉及内容广泛、综合性强，需要学生经历较长的认识过程去逐步理解和掌握，因此，教材在呈现该内容时采用了螺旋式编排，分阶段逐渐深化。依据课程标准及教材内容，可以将坐标内容的学习分成三个阶段：经验性理解、形式化理解、结构化理解。

一、第一阶段：经验性理解（小学）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在这一阶段的相关要求如下表所示：

处在第一第二学段的学生认知水平有限，还未能够正式学习坐标内容，需要先培养空间观念，从他们熟悉的日常生活中选取素材，如表述具体情境中物体的位置时，充分利用学生的生活经验，上升为用数学的方法来进行。同时将数学思想渗透在教材内容中，让学生从数的角度认识并描述物体的位置，体会数形结合思想，这也正是使坐标成为连接代数和几何问题桥梁的核心思想之一，让学生在探索、交流等活动中建立关于数对的概念，进而提升数学素养。

【案例1】人教版一年级上册第二章：位置

教材提供了一张江上大桥图，要求学生通过观察各交通工具的位置关系来认识前后上下方位词的含义。通过“做一做”活动，让学生将文具按上下关系摆放，动手操作加深对上下关系的认识。选取课堂上师生共同认识左右的场景帮助学生初步熟悉左右关系，安排“做一做，使学生通过做动作来辨别有关自己其他的左右部位，在通过学生表述其他同学的位置加深学生对相对位置的理解。

分析：本章是学生学习坐标、接触“图形与知识”的起始課，学生对于位置关系已经有了一定的生活经验，但认识还不成熟，所以通过与日常生活经验密切相关的活动，用直观的方式明晰物体相对位置的概念。虽然此部分并未明确给出坐标的概念，但通过以上经验性理解，学生的空间观念已经得到了培养，为今后坐标的学习奠定了基础。

二、第二阶段：形式化理解（初中）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在这一阶段对应为第三学段（7-9年级）相关要求如下：

课程目标为探索并理解平面直角坐标系及其应用。

第一部分“坐标与图形位置”：（1）结合实例用有序数对可以表示物体的位置;（2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系;在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标;（3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置;（4）对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。

第二部分“坐标与图形运动”：（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。（2）能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。（3）探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点的坐标变化。

初中阶段，学生进入到形式化理解阶段，在这个阶段，应该使学生接触一般坐标理念，接触与坐标有关的实质性内容。初中要使学生感受“有序数对”与“点的位置”、“数量关系”与“图形位置关系”的内在联系，所以安排了平面直角坐标系的相关概念、以及坐标在地理位置、图形平移方面的应用。同时“能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置”，也蕴涵极坐标的思想，为今后的深入学习应用提前普及必要学科知识。通过使学生尽早接触到平面直角坐标系这个数学工具，架起代数与几何问题的桥梁，进一步体会坐标思想、对应思想、数形结合思想，同时在学习过程中发展逻辑思维、抽象能力。

【案例2】人教版七年级下册第七章 平面直角坐标系

教材首先通过电影院座位和教室座位的实际问题介绍“有序数对”，并再结合数轴，尝试用有序数对表示平面内点的位置，引出平面直角坐标系的概念，介绍了横轴、纵轴、坐标等相关概念，并建立点与坐标的对应关系。接下来设置了一个拓展阅读，让学生了解在地图上通过经纬度可以确定地理位置，从中得到启发，学习建立坐标系。

在初步了解坐标可以确定一个地点的地理位置之后，第二节介绍了对于坐标方法的简单应用，主要从“地理位置”和“平移变换”两方面进行叙述。在编排这部分内容时，首先设置了一个探究活动，借此归纳出“可以建立平面直角坐标系，用坐标表示位置”的结论，并指出还可以通过方向和距离来表示平面内物体的位置;坐标还可以表示平移，教科书通过一个研究活动，讨论将点进行平移时坐标的变化规律，再给出关于图形平移引起图形顶点坐标变化的探究题。接下去教科书讨论了对三角形、平行四边形顶点坐标进行加减所引起的相应的变化，并发现将图形的全部顶点都进行同一变化时，图形只是发生了整体的平移，新图形和原图形的大小形状完全相同。

分析：平面直角坐标系是以数轴为基础的，本章突出了二者的联系，以数轴为出发点引入平面直角坐标系的有关概念;坐标系是数与形之间的桥梁，本章展示了平面直角坐标系建立的全过程，且用坐标的方法研究平移，锻炼了学生数形结合的思想，用坐标在确定地理位置上的应用展现了坐标在实际生活中的应用价值;本章从确定位置出发引出坐标概念，再介绍建立坐标系的方法，最后利用坐标系解决确定地理位置的问题，从实际问题逐步抽象出数学问题，再去解决实际问题，问题情境—问题串—数学活动—思考与整理—明晰，是典型的新知学习体例3，符合学生的认知规律。

三、第三阶段：结构化理解（高中）

《普通高中数学课程标准》在这一阶段的相关要求如下：

必修课程对应内容“向量基本定理坐标表示”要求：（1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示;（2）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算;（3）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角;（4）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。

选择性必修课程共涵盖四部分坐标相关内容，第一部分“空间直角坐标系”要求：（1）在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置;（2）借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

第二部分“向量基本定理及坐标表示”要求：（1）了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;（3）掌握空间向量的数量及其坐标表示。第三、第四部分为直线与方程，以及圆与方程，均要求掌握在平面直角坐标系中对应图形的方程表示。

高中阶段，学生处在结构化理解阶段，且高中数学衔接了初中基础数学知识和大学高等数学理论，在知识层面属于承上启下的过渡阶段4。坐标作为解析几何的核心思想之一，几乎渗透了所有高中解析几何知识的教学。所以这部分的学习不仅要将坐标系从二维到三维过渡，还需要研究坐标与其他学科内容的联系，进行知识的总结、概括、融合应用。在高中要掌握各曲线与向量的坐标表示，借此深入对位置关系的研究。从知识结构出发，展现坐标的应用价值，增进学生对于坐标的理解，拓展学生的思维空间。

【案例3】人教版A版必修2第六章第三节 平面向量基本定理及坐标表示

第三节第一部分引入了平面向量基本定理及相关概念，第二部分在此基础上介绍了平面向量相关的坐标表示，分为正交分解、加减运算、数乘运算三块。以坐标为工具研究向量，为通过“数”的运算处理“形的问题搭起了桥梁5。

分析：通过将向量的运算向数的运算类比、向量法与坐标法的类比，建立了学科知识之间的思想联系，突出了坐标在解析几何知识领域的基础性，加强了以坐标为研究工具的实际应用价值。

四、总结

对于坐标思想的学习贯穿了我们整个学习的过程。在小学通过“找位置”对相对位置的概念有了接触。初中通过对“有序数对”与“点的位置”二者内在联系的学习，初步掌握了坐标的基本概念，并延伸出了对“数量关系”与“图形位置”的讨论，以及数形结合的思想方法。在高中的解析几何教学中，都渗透着数形结合和坐标的思想方法6。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。”7作为在数学课程内容中占有绝对地位的坐标思想在社会需要，数学学科目的，以及学生认知这三方面有着极其重要的价值。

从社会需要来看，坐标思想综合性强，涉及知识领域广，几乎渗透所有解析几何内容，是未来工作所需知识不可或缺的一部分。

从数学学科目的来看，通过对坐标的学习，学生不仅能掌握坐标相关的基本概念、运用坐标描述图形的位置和运动，了解曲线的多种表现形式，为后续解析几何的学习奠定基础，还能体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力，进而提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象思想。

从学生认知来看，根据皮亚杰认知发展理论，中学生正处在抽象思維培养的关键期，学习坐标系是很大的帮助，符合学生认知的规律。坐标思想中所蕴涵的数形结合、“相对与绝对”等思想有利于培养学生辩证逻辑，启发学生数学思维，感受数学的逻辑之美。

所以在课程内容方面，我们不仅要掌握坐标的基本概念，还要能将坐标与图形位置、运动相结合，熟悉各几何图形的坐标表示;学会根据不同的情况建立合适的坐标系，并选用不同的曲线方程形式来解决实际问题;要借助代数语言清晰描述几何特征和问题，用代数的方法研究曲线之间的关系，从代数和几何两方面加深对于解析几何、数形结合思想的理解。

参考文献

[1]马复.试述教育本位数学教材[J].教育视界，2020（11）：4-7.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 （2011年版） [S].北京：北京师范大学出版社， 2012：2.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 （实验） [S].北京：人民教育出版社， 2003：118.

[4]高祯潞.高中数学中极坐标与参数方程的教学研究[D].西北大学，2017.

[5]章建跃，张劲松.《普通高中课程标准实验教科书·数学4》第二章“平面向量”简介.https： //old.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/czsxtbjxzy/ xkbsyjc/jcjs/bx4/201008/t20100826_756215.htm.

[6]曹一鸣，严虹主编.中学数学课程标准与教材研究[M].北京：高等教育出版社，2017：1.

[7]周改辉.《坐标系与参数方程》的教学研究[D].华中师范大学，2018.

南京师范大学