曾利江

(遵义师范学院黔北文化与经济研究院， 贵州 遵义563000)

有限群有着广泛的研究内容，文[1]-[5]都对有限群有过研究，在文[6]和[7]中，分别给出了判别一个群为超可解群的充要条件与充分条件，本文给出了几个定义，最后定义了一个群的广义中心的概念，证明了一些性质，最后给出了一个群为超可解群的另一个充要条件。

文[8]用9个引理证明了一个定理1，由这个定理1可以得到一个显然的推论，这个推论如下：

引理1群G为超可解的充要条件是G/(G) 超可解。

群G的两个子群H，K若满足HK=KH，则称H与K可换，易知H与K可换的充要条件是HK为G的子群，即HK≤G。

下面推广中心元的概念。

定义1群G之元x生成的子群如果与G的每个Sylow子群可换，就把x叫做G的广义中心元。

显然，中心元必为广义中心元，且有下面的推论(我们把它写成引理2)。

引理2群G之正规循环子群中的每个元都是G的广义中心元，因而超可解群必有非平凡的广义中心元。

1 一些准备

设H=◁G，则H之元为αλ形，但<αλ>◁G，故<αλ>与G的每个子群当然可换，即αλ为广义中心元。为研究广义中心元以及随后将要定义的广义中心，先看广义中心元在取子群与取商群时的情况。

引理3设x为G的广义中心元：

(1)若x∈H≤G，则x亦为H的广义中心元；

(2)若θ是G的同态映射，则χθ为Gθ的广义中心元。

证明 (1)∀Hp∈Sylp(H)(H的Sylowp-子群的集合)，∃GP∈Sylp(G)使Hp≤Gp，于是Hp≤H∩Gp；但H∩Gp又是H的p-子群，故这时有Hp=H∩Gp，因x是G的广义中心元，故Gp=Gp，再利用H⊇得H∩Gp=(H∩Gp)=Hp亦为子群，即与Hp可换，故x为H的广义中心元。

(2)∃N◁G使Gθ≅G/N(即N=kerθ)，故Gθ的任一西洛p-子群必对应某A/N∈Sylp(G/N)，于是(|G：A|，p)=1，故取S∈Sylp(A)时，则必有S∈Sylp(G)，因此SN/N∈Sylp(G/N)，于是从SN≤A，有A=SN.然而Aθ=(SN)θ=SθNθ=Sθ，而Aθ≅A/N说明Gθ的每个Sylowp-子群Aθ必为G的一Sylowp-子群S的像Sθ。……