王海东

【摘要】罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象.罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理.

【关键词】罗素悖论;属于关系;自我归属定理

一个“幽灵”在集合论中徘徊.这个幽灵就是罗素悖论.

罗素悖论：是指属于一个集合的元素不属于自己，或属于自己的元素不属于一个集合.二者必居其一.

罗素悖论可以用以下公式表示：

xy（y∈xyy∨y∈yyx）

从这个公式来看，如果罗素悖论成立，那么属于一个集合的元素不属于自己，包含这个元素的集合也不属于自己了.因为，在集合论的逻辑推理过程中，任何一个集合都有可能被定义为另一个集合的元素.这样一来，集合论就产生了一个集合都不属于自己的逻辑矛盾.

有人认为，集合论公理系统（ZFC）能够从集合论中排除罗素悖论.因为，集合论公理系统（ZFC）包括外延公理、配对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、概括公理、替换公理、正则公理、选择公理等九个公理.

外延公理可以用以下公式表示：

xy（x=yz（z∈xz∈y））

配对公理可以用以下公式表示：

xyz（z=（x，y））

并集公理可以用以下公式表示：

xy（y=∪x=（a|b（b∈x∧a∈b）））

冪集公理可以用以下公式表示：

xy（y=p（x）=（a|ax））

无穷公理可以用以下公式表示：

x（（a（a∈x））∧（y（y∈x→y∪{y}∈x）））

概括公理可以用以下公式表示：

yxz（y∈xy∈z∧p（y））

替换公理可以用以下公式表示：

uvw（φ（u，v）∧φ（u，w）→v=w）→xy（y=（v|u（u∈x∧φ（u，v））））

正则公理可以用以下公式表示：

x（x≠φ→y（y∈x∧x∩y=φ））

选择公理可以用以下……