崔达开 李茹 许湘津

【摘要】本文用建立两个集合一一对应的方法得出了n元一次不定方程x1+x2+…+xn= m非负整数解的个数，在此基础上得到了正整数解的个数，进而还得到了该方程的泛方程相应解的个数.

【关键词】不定方程;非负整数解;一一对应

【基金项目】云南省教育厅教育教学改革研究项目（JG2018260）

引言

今讨论形如

x1+x2+…+xn=m（1）

的n元一次不定方程非负整数解的个数，其中整数n≥2，m为非负整数.我们用集合一一对应的方法予以结论的证明，即

如果两个集合之间一一对应，那么这两个集合的元素个数是相同的.（2）

1其数学描述

若n个有序非负整数（x1，x2，…，xn）满足（1），则称它是（1）的一个解.（1）的解集合以S记之.显然S非空，因（m，0，…，0）∈S.

另外，令J是含有m+n-1个元素的集合，其元素分别记为 1，2，…，m+n-1，即J={1，2，…，m+n-1}.

今从J中取出n-1个元素视为一组，以这样的组为元素构成的集合以T记之，显然T的元素个数，即组合数：

Cn-1m+n-1=m+n-1n-1=（m+n-1）！m！（n-1）！（3）

2寻求一个T到S的一一对应

首先对于T中的一元，即从J中取出的n-1个元素形成的一组{k1，k2，…，kn-1}，不妨假定k1

令 x1=集合{j∈J：j

x2=集合{j∈J：k1

……

xn-1=集合{j∈J：kn-2

xn=集合{j∈J：kn-1

显然，xi≥0，i=1，2，…，n.

因集合J含有m+n-1个元，所以

（x1+1）+（x2+1）+…+（xn-1+1）+xn=m+n-1.

進而x1+x2+…+xn=m，即（x1，x2，…，xn）∈S.

从而我们建立了T到S的一个对应（映射）：

f：{k1，k2，…，kn-1}→（x1，x2，…，xn）.

不难看出，T的不同元在f下的像也不同.

最后我们看，对任意（x1，x2，…，xn）∈S，能否找到T中的一元，使其在f下的像正好是（x1，x2，…，xn）.

因x1+x2+…+xn=m，此时令k1=x1+1

k2=k1+x2+1=x1+x2+2，

k3=k2+x3+1=x1+x2+x3+3，

……

kn-1=kn-2+xn-1+1=x1+x2+…+xn-1+n-1=m+n-1-xn.

所以1≤k1

从而f是T到S的一一对应（映射）.由（2）（3）知，S的元素个数，即

（1）的非负整数解的个数为Cn-1m+n-1.（5）

3求解

以上不仅给出了（1）的解的个数，而且原则上还给出了求（1）的解之方法.

比如，当n=5，m=4时，（1）为x1+x2+x3+x4+x5=4，m+n-1=8，n-1=4.对于{k1，k2，k3，k4}={1，2，5，7}∈T，如表1所示：

由（4）得，x1=0，x2=0，x3=2，x4=1，x5=1，即（0，0，2，1，1）∈S.

再如，当n=4，m=5时，（1）为x1+x2+x3+x4=5，m+n-1=8，n-1=3;

对于{k1，k2，k3}={2，4，8}∈T，如表2所示：

由（4）得，x1=1，x2=1，x3=3，x4=0，即（1，1，3，0）∈S.

4应用举例

例1求x1+x2+…+x5=6的非负整数解的个数.