逄志伟

【摘要】高三第一轮复习知识点较多且零散，导致学生在综合应用多个知识点的时候容易出现问题，因此第二轮复习的首要任务是按专题总结知识点，对知识点的串联和概括是重中之重.在高考背景下，不仅仅要求我们将题目讲透，还要求我们在讲解题目的过程中能够教会学生举一反三，让学生对知识点深入理解，学会知识点之间的迁移、归纳.

【关键词】二轮复习;发散联想;举一反三

一、问题与分析

（2017 盐城三模）若实数x，y满足2x-3≤ln（x+y+1）+ln（x-y-2），则xy=.

思路分析1：基本不等式与导数的应用

ln（x+y+1）+ln（x-y-2）

=ln（x+y+1）（x-y-2）

≤ln（2x-1）24=2ln（2x-1）-2ln 2.

当且仅当x+y+1=x-y-2，即y=-32时取等号.

设t=2x-1（t>0），则原式t-2≤2ln t-2ln 2.

令f（t）=t-2-2ln t+2ln 2，

∴f′（t）=1-2t=t-2t.

当t>2时，f′（t）>0，函数f（t）单调递增;

当0

∴fmin（t）=f（2）=0.

所以要使不等式成立，需t=2，此时x=32.

所以xy=-94.

分析：这种解答方法相對来说运用知识点较多，考查了学生对于知识点综合运用的能力.其思路的复杂之处在于先应用基本不等式，确定y的值，再用换元法构造函数解决不等式问题，解x值，最后得出结论.

思路分析2：巧妙利用典型不等式ln x≤x-1

不等函数关系式ln x≤x-1在x∈（0，+∞）上恒成立，当且仅当x=1时取等号.这个不等式为一个经典不等式的变式，考虑到题中不等式与这个结论的相似性，我们可以利用这个不等式求解.

令t1=x+y+1（t1>0），

t2=x-y-2（t2>0），

原式t1+t2-2≤ln t1+ln t2，

（ln t1-t1+1）+（ln t2-t2-1）≥0，

又ln t1-t1+1≥0，

ln t2-t2+1≥0

∴ln t1≥t1-1，

ln t2≥t2-1.

满足上述形式，但不等号方向相反，因此当且仅当x+y+1=1x-y-2=1即x=32y=-32时等号成立，所以xy=-94.

其中ln x≤x-1的证明过程如下：

设函数f（x）=ln x-x+1（x>0），

则f′（x）=1x-1=1-xx.

当00，函数f（x）单调递增;

当x>1时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减.

∴fmax（x）=f（1）=0，

∴f（x）≤f（1）=0恒成立，不等式得证.

分析：此方法与方法1相比更加简洁，但运用知识的综合能力、技巧性更强.这个不等式实际上是ex≥x+1不等式的变形，此不等式及其变形应用相当广……