罗志刚

(湖北工业大学 理学院， 武汉430068)

1 引 言

下文提到的函数及其导数或偏导数都满足问题所需要的连续性，所说的“多元积分”包括平面区域上的二重积分、空间区域上的三重积分、第二类曲面积分以及这些概念向更高维空间中的推广.

凑微分法、换元法和分部积分法是计算一元函数积分的重要手段.但是，对于多元函数的积分，这些方法却难以在重积分号下直接应用，除非事先用Fubini定理将多元积分化成累次积分，然后去计算一元函数的积分.以平面区域D上的二重积分

(1)

为例，如果将二重微分号“dxdy”理解成微分元dx与dy的普通乘积，那么在作变量替换x=x(u，v)，y=y(u，v)后，换元公式

2 解决方案

2.1 普通积分和外积分

解决上述问题的关键是将二重微分符号“dxdy”解释成满足反交换性的外积(实质上就是对积分区域规定了方向)

dx∧dy=-dy∧dx，

并且去考虑积分

(2)

这种积分的被积式其实是一个外微分形式.外微分形式是可以作形式运算的对象：它可以自由进行变量替换，也能进行凑微分(凑微分实际上是第一类变量替换)和分部积分.因此，讨论多元积分的凑微分和分部积分问题的正确出发点不是(1)式而是(2)式.为了相区别，本文将(1)称为普通积分，(2)称为外积分(注意，“外积分”不是一个已经被大家采用的标准术语，仅仅在本文中使用).通常的微积分课程中定义的二重积分和三重积分就是普通积分.

尽管如此，普通积分与外积分之间还是有联系的.如果对积分区域取合适的定向(右……