王 庆， 周建伟

(1.苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州215104； 2.苏州大学 数学科学学院， 江苏 苏州215006)

1 引 言

近来，作者用射影几何的方法研究直角双曲线，在《直角双曲线内接三角形的垂心问题》一文中，证明了直角双曲线也可以由它的内接三角形的垂心生成[1].本文在此基础上，进一步给出一些直角双曲线的性质，说明它们可以用除了内接三角形的垂心生成外的其它方法生成.讨论的工具主要是射影几何，可参看文献[2-4]或其它高等几何书籍.

2 主要结果与证明

用射影几何方法研究即是把讨论的对象看作拓广平面上的问题. 双曲线上有两个无穷远点，这两点的切线是双曲线的渐近线.双曲线是直角双曲线的条件是过这两个无穷远点的直线互相垂直.下面讨论的问题有些来源于文献[3].

证如图1，设PA交AB的中垂线ξ于Q，φ1是线束A，B之间以ξ为轴的透视，φ1(AQ)=BQ； 设φ2是线束B以θ0为旋转角的旋转，φ2(BQ)=BP.φ1，φ2都是射影映射，由Steiner定理，线束A到B的射影映射φ=φ2∘φ1的对应直线的交点给出一条二次曲线，此曲线过A，B.不难证明ξ与AB的交点O是此二次曲线的对称中心.

图1 图2

性质1给出的轨迹有两条分别对应于旋转角θ0与-θ0，它们关于直线ξ对称.

以AB为x轴，ξ为y轴，设A(-a，0)，B(a，0)，y轴上动点Q(0，t)，则BQ方向是 (-a，t)，BP的方向由BQ旋转-θ0得到，可算得BP的方向是(-acosθ0+tsinθ0，tcosθ0+asinθ0).直线AP，BP的方程分别是

消去t得直角双曲线：x2-y2-2xycotθ0=a2.

由此性质可得

下面的两个性质可以用Steiner定理讨论，也可作为性质1的特例.

性质2设动直线平行于圆内接△ABC的边AC，分别交AB与C处切线于P，Q，则X=BQ×CP的轨迹是一条直角双曲线.

性……