万安华

(中山大学 数学学院，广州510275)

1 引 言

高等数学是高校本科非数学类专业的一门重要基础课.教师如何在课堂教学中传授数学思想与数学方法是值得深入研究的课题[1].在高等数学的课堂教学中，选取富有启发性的例题进行适当的延拓，有利于培养同学们的创新思维能力[2]. 教师将每年的全国大学生数学竞赛试题及时引入相关章节的课堂教学中，并且通过综合运用数学方法将竞赛题进行多角度的延拓，不仅加强了例题的新颖性，也极大地激发了同学们的学习热忱.

2 分析与推广

引言中这道竞赛题中出现了两个底和指数互换位置的幂指函数[f(x)]g(x)和[g(x)]f(x). 对于一般的幂指函数u(x)v(x)(u(x)>0，u(x)不恒为1)，可将其转化为u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，由此来理解和处理幂指函数相关的数学问题. 当u(x)v(x)→1(在自变量x的某种变化趋势下)时，运用等价无穷小代换et-1～t(t→0)[3]， 可得

u(x)v(x)-1=ev(x)lnu(x)-1～v(x)lnu(x).

再进一步地推广为更加广泛的情形

因此只需考虑最后一种推广情形，前面的几种情形均可作为其特例而导出.其次，拟对幂指函数[f(x)]g(x)和[g(x)]f(x)的底作推广，可考虑一般的

综上分析，可将第一种推广思路和第二种推广思路结合起来，直接考虑包括了上述两种推广方向的一般情形

最后，还将考虑一般情形的

这一类型包括了

为特例，而此特例又包括了

为其特殊情况.

下面展开对上述几种推广情形的具体分析，并导出相应的结果.

2.1 对指数和底均作延拓后的一般情形

设f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)，φ(x)，φ(x)在x=x0的某一邻域U内有定义，对任意x∈U，

一方面

另一方面

因此

(1)

特例1……