杨 帆

(南开大学 哲学院， 天津 300350)

罗素悖论的发现引起了人们对集合论作为数学基础的怀疑，甚至导致了第三次数学危机。一切后续的集合论研究都不能回避这个悖论，于是出现了ZF集合论(Zermelo-Fraenkel set theory)和NBG集合论(von Neumann-Bernays-Gödel set tehroy)等公理化集合论来解决悖论，它们都对朴素集合论作出了修正。ZF集合论给出的方案是将能够导致悖论的概括原则限制为分离公理，即将“如果φ(x)是一个性质，那么就存在一个集合{x|φ(x)}”修正为“如果φ(x)是一个性质，那么对任意的A存在一个集合{x∈A|φ(x)}”，这样就确保每一个新的集合都是已经存在的集合的子集，罗素集R={x|x∉x}不复存在；NBG集合论则引入类的概念，并区分了集合和真类，集合可以属于其他集合，而真类不属于任何集合。这样，罗素悖论中所有满足某个条件的集合所构成的集合便不存在，它被定义为真类，由此解决了悖论。

上述两种公理化集合论的解悖方案分别是对概括原则进行限制与区分集合和真类的定义。替换经典逻辑则是第三种思路。随着非经典逻辑研究的兴起，构造各种非经典集合论的尝试也相继出现[1]。这些非经典集合论多能结合底层逻辑的特点来解决罗素悖论。目前，国内已经有学者开展非经典集合论在解悖方面的研究，主要涉及模态集合论[2]、弗协调集合论[3]和直觉主义集合论[4]等几种非经典集合论。但是，国内关于模糊集合论(fuzzy set theory)解决罗素悖论的论述尚不多。模糊集合论是一种非经典集合论，虽然创立的初衷是为了刻画工程中遇到的不精确现象，但为了保证能够作为模糊数学坚实的理论基础，它依然要探讨如何去解决罗素悖论。……