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公理是什么

2016-05-14张景中

关键词:中国象棋公理数学家

张景中

从前,公理被认为是自明之理,自明之理是从哪里来的呢?唯心论者认为来自人的先天洞察、上帝给人的启示、人对理念的认识等,唯物论者认为来自人对客观世界规律性的认识,二元论者认为来自人通过先天感知能力对经验的总结,虽众说纷纭,但有一点是共同的:公理是真理,数学家总是受各种各样哲学观点支配的,故数学家也倾向于认为公理应当是自明之理,是真理。

现在,数学家的看法变了,他们认为没有什么自明之理,即使有,也不必要求数学公理是真理,数学公理是对数学对象的性质的约定,什么是直线?直线就是满足某公理的某种东西,满足欧几里得公理,叫欧氏直线;满足罗巴切夫斯基公理,叫罗氏直线:等等。

讨论公理对不对,这对数学家来说是没有意义的,数学家只这样说:如果某一些对象适合于这些公理,它们一定也适合于从这些公理推出的定理,从这个意义上说,数学公理总是对的,就如同中国象棋中“单车难破士象全”总是对的一样,它依赖于下中国象棋的规则,

但也不是随便几条凑起来便可以作为公理,首先,公理不能自相矛盾,也不能推出自相矛盾的东西,这叫作公理的相容性或协调性,其次,讲究节约,任一种公理不应当能从别的公理推出来,能推出来,就作为定理算了,何必算作公理呢?这叫作公理的独立性,还有一条叫完全性,就是在这个系统中,一切命题的真假都是可以确定的,不过,一般说来,有了前两条,也就可以了,甚至,有人认为独立性也不重要,最重要的是相容性,

对公理看法的进步,大大解放了数学家的思维,现代数学中各种公理层出不穷,谁也不说准的公理不对,不过,有些公理很有用,很受欢迎,有些公理没什么用,“束之高阁,并不实行”,建立之后渐渐被人们忘了,甚至没有人注意它们,

数学家也是人,也要吃饭、穿衣,他们自然希望自己的研究于人类有用,尽管他们在逻辑上有建立任何能自圆其说的公理的权力,但他们总还会想到“有什么用”的问题,这样,实际上被数学家重视的公理,总是在一定程度上反映了人们在社会实践中的经验,或代表了人类向某一未知领域探索的愿望,从这个意义上说,公理也就不完全是人们任意的约定了。

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