朱鹏先 项巧敏

【摘要】本文致力于研究空间解析几何中直线与平面的交点问题，探讨直线方程分别是对称式和一般式的情况下，该直线与平面的交点坐标，并将求交点的方法应用到求点在平面上的投影.

【关键词】直线;平面;交点;投影

引 言

在本科高等数学的教学中，空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本文着重介绍了直线和平面的定义，直线和平面的方程，直线与直线、直线与平面的位置关系，但是直线与平面的交点问题涉及的并不多.本文将对直线与平面的交点问题进行归纳总结，给出交点坐标公式，同时将上述结果应用到求点在平面上的投影.该问题的研究不仅拓展了空间解析几何的教学内容，同时为考研升学的同学提供知识储备.

一、预备知识

定义1 设M0（x0，y0，z0）是平面Π上一已知点，n=（A，B，C）是它的法向量，则方程

A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0（1）

称为平面的点法式方程.

将方程（1）化简，得方程

Ax+By+Cz+D=0，（2）

则称方程（2）为平面的一般式方程.

定义2 方程组

A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，

称为直线的一般方程.

定义3 设空间直线l过定点M0（x0，y0，z0），且平行于非零向量s=（m，n，p）（向量s称为直线l的方向向量），则

x-x0m=y-y0n=z-z0p（3）

称为直线l的对称式方程，也叫作直线l的标准式方程.

在方程（3）中，如果令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t（-∞

x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt

叫作直线l的参数方程.

二、主要结果

1.情形一：直线方程为对称式

命题1 设直线l的方程为x-x0m=y-y0n=z-z0p，平面Π的方程为Ax+By+Cz+D=0，则

（1）当Am+Bn+Cp=0，即s⊥n时，直线与平面平行，无交点，其中，s=（m，n，p）为直线l的方向向量，n=（A，B，C）为平面Π的法向量.

（2）当Am+Bn+Cp≠0，即s=（m，n，p）与n=（A，B，C）不垂直时，此时直线与平面有交点P（x，y，z），且满足

x=x0-m（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，

y=y0-n（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp，

z=z0-p（Ax0+By0+Cz0+D）Am+Bn+Cp.（4）

证明 （1）结果显然可见.

（2）令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t，-∞

x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt.（5）

将方……