李庆娟

【摘要】定积分等式证明是一类典型且有些难度的问题，其题型多变，灵活性较大，证明的方法主要有利用辅助函数导数为零证明、换元法、分部积分法、微分中值定理法、零点定理法、二重积分证明法、夹逼定理法.

【关键词】换元法;分部积分法;中值定理

【基金项目】大连财经学院教研教改项目《应用型人才培养模式下数学课程教考分离的研究》：2020dlcjjg12

在微积分的教学过程中，我们发现学生对定积分的计算方法掌握比较熟练，但对于有关定积分的等式证明问题的证明方法和技巧的掌握却不好，学生遇到这样的题目往往无从下手，甚至毫无头绪.定积分等式证明问题是一类典型且较难的问题，题型多变，灵活性较大，虽然這类问题较难，但也并不是没有规律可循，学生在学习积分学过程中要善于总结、归纳，只有熟练掌握了一定的方法与技巧，在遇到这样的证明问题时才能思路开阔，将问题顺利解决.本文通过例题解析的形式列举了定积分等式证明的七种典型方法和技巧.

1 利用F′（x）=0证明定积分等式

在微积分中，利用导数为零推出函数为常数是证明等式问题的基本方法.一般情况下，我们要先通过分析待证明的等式构造出相应的辅助函数F（x），然后对函数求导并验证导数恒为零，再利用F（x）≡C进一步证明.

例 设函数f（x）单调增加且有连续导数，已知f（0）=0，f（a）=b，且f（x）与g（x）互为反函数，证明：∫a0f（x）dx+∫b0g（x）dx=ab.（2016年大连市数学竞赛试题）

分析 先将已知式子改写为∫a0f（x）dx+∫f（a）0g（x）dx=af（a），利用定积分的“变……