徐沛池

【摘要】“问渠那得清如许，为有源头活水来。”立体几何中，通过对长方体切割，再旋转、变换等得到多面体，构建长方体模型不仅有利于培养学生的空间想象能力、数据处理能力和逻辑推理能力，也有利于学生转换和化归思想方法的培养，而且更是让学生追溯知识源头，培养学生的数学核心素养。

【关键词】长方体模型;立体几何;数学核心素养

2019版《高中数学教材必修二（A版）》中对立体几何初步的学习提出了从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形;再以长方体为载体，直观认识和理解空间中点、直线、平面之间的位置关系。

正如高考命题组的专家所说：“高考题源自课本，要追溯源头，方可把握和提升学生的数学核心素养。”立体几何是历年高考的重点，选择题、填空题的难度低、中、难都有考查，解答题稳定在中档题，难度以低、中檔难度为主，点、线、面位置关系的判定与性质、空间几何的计算是考查的重点内容，着重考查推理能力和空间想象能力，转化与化归思想贯穿始终。

经笔者探究，多数多面体可通过补形，构建长方体模型，厘清点、线、面的关系，认清本质，形成空间想象能力、数据处理能力和逻辑推理能力，以下是笔者的分析和见解：

2019版新教材普通高中教科书（A版）第96页第八章立体几何初步开篇就强调了“借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、直线、平面入手，研究他们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质”;在近几年高考真题中以长（正）方体为模型，通过切割、旋转等形成多面体考查空间点、线、面的位置关系。

一、对长方体、正方体直接切割

将正方体A1B1C1D1—ABCD（图1）的侧面进行切割，设M、N分别是A1D1、AD中点，在MN上取点P将正方体切割后，得到的四棱锥（图1-1）就是2017年高考全国卷（Ⅰ）理数第18题;将图1正方体切割后，得图1-2实线部分便是2016年高考全国卷（Ⅰ）理数第18题。

分析2010-2020年新课标1的理数真题，易知2018年第18题、2017年第18题、2016年第18题、2015年第18题、2011年第18题、2010年第18题是多面体的题型，可构建长方体模型，2019年第18题、2012年第19题直接考查长方体以直棱柱形式呈现。下面以2016年新课标1理科第18题为例分析：

【题目】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°。

（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC;

（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值。

【剖析】

本题的第一问考查线面位置关系，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是平面几何的运算和结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主。

第二问考查角度问题，多用空间向量解决，借助向量解决角的问题关键是建系和找点的坐标。本题隐含条件较多，不易发掘直线、平面的关系，尤其是CD的位置确定，由AB∥EF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，得AB∥平面EFDC，又∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB平面ABCD，得AB∥CD，即CD∥EF，四边形EFDC为等腰梯形，利用直线与平面平行的判定定理和性质定理，这一隐含信息学生经常发掘不出来，很难读懂这一信息的关键;由第一问的结论可知平面ABEF与平面CDFE的位置关系，得到平面ABEF⊥平面CDFE。为了学生更直观理解空间关系可还原到长方体中，建立长方体模型如图2-1，进一步，建直角坐标系如图2-2，求点的坐标，从而解答。

构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误。本题补成长方体，构造长方体模型，增强学生的空间立体感，确定点、线、面的位置关系。

对于长方体模型，学生熟悉，立体感强，重点在以长方体模型为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;解决立体几何问题时，关注对整体图形的把握，培养学生空间思维能力、数据处理能力、逻辑推理能力、抽象思维能力，培养学生领会及感悟化归思想，归纳类比思想、数形结合和数学建模在数学解题中的运用，培养探究精神。

二、对长方体、正方体切割、旋转

在立体几何中，对长方体、正方体切割后可得到多面体，往往试题还要进行旋转增加难度，以以下几道新课标真题为例来阐述：

【题目1】（2019年新课标1理科数学第12题 ）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，（下转第46版）     （上接第45版）E，F分别是PA、AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）

A.   B.   C.     D.

《普通高中数学课程标准（2017年）》指出，逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证。有条件“PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形”推断出该三棱锥为正三棱锥，涉及到的考点有直线与直线平行的性质定理、线面垂直的判定及其性质定理等，证得PB⊥平面PAC，求得PA=PB=PC=，得P-ABC为正方体一部分，根据正方体的体对角线为外接球的直径，从而得解。

此方法，利用割补思想解决外接球问题，可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，补体成正方体解决，此方法也是割补成长（正）方体的通法。通过本题，检验学生掌握此类题目的程度，对立体几何教学如何培养学生的核心素养发挥了积极的导向作用。