陈潇春 惠 宇 (江苏省无锡市第一女子中学 214002)

1 引言

在新的高考改革中，与数学文化相结合的题目可谓百花齐放、百家争鸣，从鳖臑到日冕，从几何原本到九章算术，从维纳斯身高到故宫台阶级数，不仅检验学生的知识储备水平，更考查学生对所学知识的调用、迁移、转换、应用以及创新的能力，由点到面地考查学生的数学核心素养．本文试图通过对学生熟悉的数列研究方法的探究，例析斐波那契数列的相关性质与应用，并谈谈对此类与数学文化相结合问题的教学思考，以期抛砖引玉．如有不当之处，敬请批评指正．

2 斐波那契数列的性质及应用

斐波那契数列(Fibonacci sequence)是由 13世纪意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时提出的，其独特魅力不仅在于它源于生活的现实应用之美，更在于它独有的数学理性之美．在探究性质、找寻规律的过程中所散发的理性与智慧，正是它流传至今并活跃于各地高考模考的重要原因．

设数列{an}为斐波那契数列，根据定义，数列{an}满足递推关系an=an-2+an-1(n≥3)，其前n项和记作Sn．

性质1Sn=an+2-1．

证明方法1(迭代法)an+2-1=an+an+1-1=an-2+an-1+an-1+an-1=an-2+(an-3+an-2)+an-1+an-1=…=a1+a2+a2+a3+a4+…+an=Sn.

方法2(定义法) 因为Sn-Sn-1=an=an+2-an+1，所以Sn-an+2=Sn-1-an+1(n≥2)，即{Sn-an+2}为常数列．从而Sn-an+2=S2-a4= -1，即Sn=an+2-1．

方法3(错位相加法)Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an，错位相加得2Sn=a1+(a2+a1)+(a3+a2)+…+(an+an-1)+an=a1+a3+a4+…+an+an+1+an，因此2Sn=(a1+a3+a4+…+an)+(an+1+an)=Sn-1+an+2，即Sn=an+2-1．

例1(2017—2018全国高三模拟训练改编)“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，数列中的一系列数字被人们称为神奇数．该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{an}为“斐波那契数列”，Sn为数列{an}的前n项的和，若a2 017=m，则……