朱世杰 (苏州大学数学科学学院 215006)

1 问题提出

导数是高等数学背景下的初等数学问题的典型，是引领学生开启微积分学习的金钥匙，是解决函数、方程和不等式等问题的有力工具，是联系初等数学与高等数学的桥梁和纽带，也是高考命题的热点、亮点和创新点．2021年全国八省联考数学试题以其科学性、前瞻性、灵活性和创新性而引人瞩目，其中具有代表性的第8题是：

已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则( )．

A．c

C．a

本题以方程与函数为背景，以不等关系的判断为目标，以导数为解题工具，以等价转化、函数与方程、数形结合和分类讨论思想为依托，入口宽、方法广、观点新、立意深，蕴含着丰富的数学知识和思想方法，具有很高的探究价值．

2 问题解法探究

通过对问题的深入思考和研究，能够挖掘出问题的本质和内涵，发现问题间的内在联系，同时培养良好的思维习惯，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，打开通往数学科学殿堂的大门．

图1

图2

图3

3 展开联想，借题发挥

3.1 借题发挥：研究常见函数模型

图4

A．a

C．c

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设a>0，求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值；

(3)若存在正实数a,b(a

3.2 借题发挥：构造原函数模型

模型应用 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)-f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(m-2 021)>(m- 2 021)f(1)，求实数m的取值范围．

3.3 借题发挥：解决极值点偏移问题

极值是函数的重要性质之一.从以上六个函数模型的图象可以看出，它们与最基本的二次函数的极值相比不具有对称性，即极值点偏移了，而函数极值点偏移问题恰恰就是全国高考数学命题的热点之一．