江苏省无锡市第六高级中学 (214000) 谢 吉

本文拟通过对一道四边形面积最大值问题的深入研究，旨在帮助同学们拓宽处理此类问题的常用解题思维，巩固所学数学知识、方法在解题中的灵活运用能力；同时也指出教材例、习题的典型性可进一步挖掘，以及强化变式训练的重要性.

考题呈现(2020届西安高级中学高三模拟题)在平面四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°,CD=2,AD=4，则四边形ABCD的面积的最大值为.

试题分析：本题符合新课标“注重在知识网络的交汇点处设计试题，对数学基础知识的考查达到必要的深度”的高考理念，主要考查学生对相关数学知识的灵活、综合运用能力，提升考生的数学核心素养.本题亮点体现在两个方面：一是考查学生的数形结合能力以及推理论证能力；二是如何巧妙借助“消元”技巧，或转化思想加以灵活分析，培养学生分析问题、解决问题的能力.

解法探究：因为AB=BC,∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形.如图1所示，为了便于进行分析、叙述，先画出对应的图形，并设等边△ABC的边长为x.

图1

评注：此解法的关键是借助“设元”技巧，先根据解三角形知识构建等量关系，再根据同角三角函数中的平方关系实施“消元”变形，进而转化为二次方程的“根”的存在性问题.

图2

评注：上述解题思路可概括为,先根据图形的特殊性，适当建立平面直角坐标系；再通过设出相关点的坐标，构建等量关系，并活用“消元”技巧获得关于“m2”的一元二次方程；最后根据二次方程有实数根，构建不等式加以灵活求解.

考题探源：本题源于北师大版教材必修五第55页例3(具体展示如下)，所以该题“源于教材，高于教材”设计较好.

如图3所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧.(1)若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；(2)求四边形面积的最大值.

图3

变式训练(原创)如图4，已知平面四边形ABCD，连接AC，其中∠ACB=60°，且AB⊥BC,AD=1,CD=2，则四边形ABCD的面积的最大值是．

图4

综上可见，求解四边形面积最大值时，从数学思想方法看，需关注“数形结合思想”、“转化与化归思想”的综合运用；从解题技巧看，需关注“设元”、“消元”技巧的灵活运用；从求最值角度看，需利用函数的单调性、基本不等式、三角函数的性质等灵活求解.一言以蔽之，此类问题有利于强化解三角形与其他知识在解题中的综合运用能力，有利于优化学生的认知结构，培养学生的探究精神以及创新意识.