姚裕丰, 张雅静

（上海海事大学 数学系, 上海 201306）

0 引 言

设基域 F 是代数闭域, g 是 F 上的李代数,r∈Z≥2. 李代数 g 的r元组交换簇Cr(g) 是 g 中所有互相交换的r元组的集合, 即

则Cr(g) 是 gr的闭子簇. 当 c harF=0 , g 是简约李代数, 且r=2 时, Richardson[1]证明了C2(g) 是不可约簇. 此结论被Levi[2]推广到了素特征域上简约李代数的情形. 对于一般线性李代数 g ln, Gerstenhaber[3]证明了当n≥4 且r≥5 时,Cr(gln) 是可约的. 进一步, Kirillov和Neretin[4]证明了C4(gl4) 是可约的, 且对于任意的r≥1 ,Cr(gl2) 及Cr(gl3) 都是不可约的. Guralnick和Sethuraman[5]证明了当n≤10 时,C3(gln) 是不可约的, 而当n≥30 时,C3(gln) 是可约的.

不同于特征零情形, 特征大于5的代数闭域上有限维单李代数分为典型李代数和Cartan型李代数 (见文献[6-7]). 作为非典型单李代数的第一个例子, 即Witt代数, 是由Witt于20世纪30年代首先发现的. Witt代数的2元组交换簇在文献[8]中被确定, 同时还证明了该簇是可约簇且不是等维的,并给出了所有不可约分支. 本文在此基础上进一步研究Witt代数的r元组交换簇.

1 预备知识

本文总假设基域 F 是特征p＞3 的代数闭域. 所有的代数(线性空间, 簇)都定义在 F 上.

设 A =F[X]/(Xp) 是域 F 上一个变量的截头多项式代数, 其中 (Xp) 表示 F [X] 中由Xp生成的理想.为方便起见, 将X在 A 中的陪集也记为X, 则 A 有一组典范的线性基{1,X,···,Xp−1}. 设∂是 A 上的线性算子, 定义如下:∂Xi=iXi−1,0≤i≤p−1 . Witt代数W1即为 A 上的所有导子构成的李代数.

以下总假设 g =W1. 由文献[9], g =spanF{Xi∂|0≤i≤p−1}. 截头多项式代数 A 上的自然 Z -阶化

诱导出 g 的 Z -阶化

其中

结合于此阶化, 有以下自然滤过:

其中

设G=Aut(g) 是 g 的 自 同 构 群, 则G是 一 个p−1 维 的 连 通 代 数 群, 且 L ie(G)=g0,σ(gi)=gi,∀σ∈G,−1≤i≤p−2 . 对于 g 中的任意元素x, 它的中心化子 zg(x)={y∈g|[x,y]=0}是g的一个限制子代数. 需要以下关于 g 中元素中心化子的结构定理.

引理 1.1[8]设 g =W1是域 F 上的Witt代数,x∈gigi+1, 则

2 Witt代数的 r 元组交换簇

保持之前的记号, 特别地, g =W1是域 F 上的Witt代数,r∈Z≥2, g 的r元组交换簇Cr(g)={(x1,···,xr)∈gr|[xi,xj]=0,∀1≤i,j≤r},则Cr(g) 是 gr的闭子簇, 且Cr(g) 在 g 的自同构群G的对角作用下不变, 即Cr(g) 是一个G-簇. 本章研究代数簇Cr(g) 的结构.

设

对于任意i∈{1,···,p−2}, 令

记C(i) 的闭包为 C (i) , 0 ≤i≤p−1 . 有下面简单的引理.证 明 由C(0) 的定义知

由引理 1.1 知φi是双射. 从而, C (i) 是不可约的, 且

以下给出Witt代数r元组交换簇的结构定理.

是Cr(g) 的不可约分支分解.

证 明 分以下几步证明.

第1步 按如下方式定义GLr(F) 在 gr上的作用:

由Cr(g) 的定义易知Cr(g) 是 gr的GLr(F) -子簇. 由于GLr(F) 是连通代数群, 根据文献[10]中的命题8.2知Cr(g) 的每个不可约分支在GLr(F) 作用下不变. 特别地, 对于任意 1 ≤i＜j≤r,Cr(g) 的每个不可约分支在以下对合作用下不变:

第2步 设

是典范的投射, 则 P r1(C(i))=gigi+1,1≤i≤p−2 , 而 P r1(C(0))=g , P r1(C(p−1))=0 . 因此,

且

第3步 以下对r用数学归纳法证明定理的结论.

当r=2 时, 由 于C(−1):={(x,ax)|x∈g−1g0}⊂C(0) , 从而 C (−1):=C(−1)⊆C(0) . 由 引理2.2及文献[8]中的定理1得到 C (−1)=C(0) . 因此, 由文献[8]中的定理1知本定理当r=2 时成立.

以下假设r＞2 , 且本定理结论对r−1 成立. 设

是Cr−1(g) 的不可约分支分解, 则

由引理1.1知ψi是同构. 从而 C (i)=gi×Cr−1(gp−1−i) . 设

是Cr−1(gp−1−i) 的不可约分支分解, 其中si是Cr−1(gp−1−i) 的不可约分支的个数, 则

从而

从定理2.1可得到下面的推论.

推论 2.1 设g =W1是特征p＞3 的代数闭域上的Witt代数,r∈Z≥2, 则 g 的r元组交换簇Cr(g)既不是正规的, 也不是Cohen-Macaulay.

因此，根据文献[11]中的注记17.1.3知Cr(g) 不是正规的. 进一步, 由定理2.1和引理2.2知Cr(g) 不是等维的, 从而不是Cohen-Macaulay.

注记 2.1 (1) 本文得到的关于Witt代数的r元组交换簇Cr(g) 的性质与典型李代数 g l2,sl2情形的性质截然不同. Ngo[12]得到当 L =gl2或 s l2时, L 的r元组交换簇Cr(L) 是不可约的、正规的、Cohen-Macaulay.

(2) 本文基域 F 的特征p＞3 这一限制条件是必需的. 当p=3 时, Witt代数W1同构于典型李代数sl2.

(3) 对于秩n的Witt代数Wn的r元组交换簇Cr(Wn) 的结构有待进一步研究.