张美娟 焦建林

摘 要： 文章以一道中考题为例，通过试题探源，思路分析，解法探讨来挖掘中考试题的命题依据，引导教师教学要追本溯源，发挥教材应有的价值.

关键词： 中考;数学;解析;探源

中图分类号： G632       文献标识码： A       文章编号： 1008-0333（2021）35-0054-02

一、原题呈现

2011年泰州中考第28题：在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限.

（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上;

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由.

二、试题分析

这试题来源于苏科版教材八年级（下）第95页的第22题：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，将正方形A′B′C′D′绕点A′旋转，在这个过程中，这两个正方形的重叠部分的面积会发生变化吗？

该试题保留了原来的正方形ABCD，并把正方形ABCD放置到平面直角坐标系中，然后让正方形

ABCD的顶点A和顶点B分别在坐标轴上运动，保持边长不变.

重点考查

点的坐标、勾股定理、全等三角形、三角形的中位线、角平分线定理的逆定理、等弧所对的圆心角相等、不等式组、三角函数等知识点.

这种命题方式是从教材出发，充分挖掘教材的命题价值，一方面关注了学生的应试心理，另一方面，引导教师教学要追本溯源，发挥教材的教学价值.

三、解法探索

（1）当∠BAO=45时，如图1，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，PA=PB，所以∠PAB=∠PBA=45°.

因为∠BAO=45°，∠AOB=90°，所以∠ABO=45°，所以∠PBO=∠PAO=90°，所以四邊形OBPA为矩形，又因为PB=PA，所以四边形OBPA为正方形.所以PO=AB=a，PA=OA，PA⊥OA.在等腰直角△OPA中，根据勾股

定理可求：PA=OA=  2  2 a，所以点P的坐标为（  2  2 a，  2  2 a）.

（2）本小题我们可以从多个角度、用多种方法解决.

方法1  要证明点P在∠AOB的平分线上，其实就是要说明点P到∠AOB的两边距离相等，因此就可以考虑经过点P分别作OA、OB的垂线段，垂足分别为点F、点E，如图2.因为∠AOB=90°，∠EPF=90°.由（1）可知，∠BPA=90°，所以∠EPB=∠FPA.由（1）可知，PB=PA，所以△EPB≌△FPA（AAS），所以PE=PF，即点 P到∠AOB的两边距离相等.所以无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上.

方法2  如图3，设OA=m，OB=n，且m、n满足m2+n2=a2，所以点A（m，0），点B（0，n），过点D作DN⊥x轴于点N，易证△OAB≌△NDA，所以AN=BO=n，DN=AO=m，所以ON=m+n，所以点D的坐标为，D（m+n，m）.因为四边形ABCD为正方形，所以点P为BD的中点，所以点P（ m+n 2 ， m+n 2 ），所以点P到两坐标轴的距离相等，所以无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上.

方法3  要证明点P在∠AOB的平分线上，其实就是要说明点∠AOP（或∠BOP）=45°，那原来图形中有

有没有现成的45°呢？有的，∠ABP（或∠BAP等），那么怎样建立∠AOP和∠ABP之间的联系呢？可以通过圆的知识进行角度之间的转化.那这里怎么会想到圆的呢？其实，在图形运动变化过程中，∠AOB和∠APB始终都是90°，这是“变中不变”的量.考虑到△AOB和△APB是有公共斜边的直角三角形，公共边AB是联系这两个直角三角形的“桥梁”，所以取AB的中点M，连接MO、MP，如图4，所以MO=MP= 1 2 AB.因此点O、B、A、P在以AB为直径的圆上，所以∠AOP=∠ABP=45°.所以无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上.

（3）过点P作PG⊥x轴于点G，因为点P到x轴的距离为h，所以 PG=h.

方法1  如图5，根据“垂线段最短”可知，h≤PA，并且当PA⊥x轴（如图1）时，h=PA，因为PA=  2  2 a，所以h≤  2  2 a.若PA与x轴不垂直，在Rt△PGA中，PG=PA·sin ∠PAG， 因为点B在y轴正半轴上运动，所以∠PAG>45°，所以sin ∠PAG>sin 45°，所以sin ∠PAG>  2  2 ，所以PG=PA·sin ∠PAG>  2  2 a·  2  2 = 1 2 a， 即h> 1 2 a. 综上，h的范围是： 1 2 a方法2  如图6，在整个图形变化的过程中，∠OPG始终等于45°，因为△PAB为等腰直角三角形，所以，如果过点P作

P⊥AB于点，可得两个不变的量：∠PA=45°，P= 1 2 a.根据∠OPG=∠PA=45°可得∠KP=∠APG，又∠KP=∠PGA=90°，则△KP∽△AGP，则 KP AP = P PG ，即：KP·PG=AP·P，所以KP·PG=  2  2 a· 1 2 a，则KP=   2  4 a2 PG ，因为P≤KP