摘 要：本文研究了中心二次曲线的两条关于定值的性质，它们在解决强基计划笔试试题及编拟习题中均有广泛应用.

关键词：中心二次曲线;性质;定值;编拟习题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0078-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：甘志国（1971-），男，湖北省竹溪人，研究生，正高级教师，特级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（项目编号FT2017GD003）.

定理1 设中心二次曲线Γ：x2λ2+μy2=1（λ>0，μ≠0）的左顶点是A（-λ，0）.若动直线y=k（x-h）（k≠0）（其中h是定值且h≠±λ）与曲线Γ交于两点M，N，直线AM，AN与直线x=h分别交于点B，C，则k的取值范围由不等式μ（λ2-h2）k2+1>0（k≠0）确定，PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）.

证明 联立y=k（x-h），x2λ2+μy2=1，，得（λ2μk2+1）x2-2λ2μk2hx+λ2μk2h2-λ2=0.

解得x=λ2μk2h±λλ2μk2-μk2h2+1λ2μk2+1.

所以xM-xN=2λμ（λ2-h2）k2+1λ2μk2+1（μ（λ2-h2）k2+1>0，k≠0）.①

由一元二次方程根与系数的关系，得xM+xN=2λ2μk2hλ2μk2+1，xMxN=λ2μk2h2-λ2λ2μk2+1.

②

可求得直线AM：y=k（xM-h）xM+λ（x+λ），进而可求得它关于直线x=h的交点Bh，k（λ+h）1-λ+hxM+λ.同理，可得点Ch，k（λ+h）1-λ+hxN+λ.

所以PB+PC=k（λ+h）1-λ+hxM+λ-k（λ+h）1-λ+hxN+λ=（λ+h）2kxM-xNxMxN+λ（xM+xN）+λ2.

再由①②，得

PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2.

還可得

PB·PC=k（λ+h）1-λ+hxM+λ·k（λ+h）1-λ+hxN+λ=（λ+h）2k2（xM-h）（xN-h）（xM+λ）（xN+λ）=（λ+h）2k2xMxN-h（xM+xN）+h2xMxN+λ（xM+xN）+λ2.

再由②，可得PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）.

综上所述，可得欲证结论成立.

推论 设中心二次曲线Γ：x2λ2+μy2=1（λ>0，μ≠0）的左顶点是A（-λ，0）.若动直线y=k（x-h）（k≠0）（其中h是定值且h≠±λ）与曲线Γ交于两点M，N，直线AM，AN与直线x=h分别交于点B，C，则

（1）当μ（λ2-h2）>0时，则k的取值范围是（-SymboleB@，0）∪（0，+SymboleB@）;PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=λ2-h2λ2μ（是定值）;当k取遍非0实数时，PB+PC的取值范围是[2|1-（hλ）2|，+∞）;

（2）当μ（h2-λ2）>0时，则k的取值范围是-1μ（h2-λ2），0∪0，1μ（h2-λ2）;PB+PC=2λμμ2（λ2-h2）+1k2，PB·PC=h2-λ2λ2μ（是定值）;当k取遍-1μ（h2-λ2），1μ（h2-λ2）中的非0实数时，PB+PC的取值范围是（0，+SymboleB@）.

题1 （2021年清华大学强基计划笔试数学试题）已知椭圆x24+y2=1及其左顶点A（-2，0）.若过点P（1，0）的直线l与该椭圆交于两点M，N，直线AM，AN与直线x=1分别交于点B，C，则（）.

A.PB+PC是定值

B.PB·PC是定值

C.PB+PC的值可以是2

D.PB·PC的值可以是2

解析 由推论（1），得PB+PC=3+1k2，PB·PC=34，进而可得答案BC.

定理2 设Γ：λx2+μy2=1是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，其离心率是e，A，B，C是曲线Γ上的任意三点（两两互异）且点A，B关于Γ的对称中心对称.若两……