蔡海涛 黄少莹 卢妮

摘 要：2020年高考全国卷Ⅰ理科第20题，构思精妙，入手方向多，解题方法丰富.本文从解题方法以及背景进行深层次剖析，由此进行一定的教学反思.

关键词：解法赏析;背景探究;教学启示

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0028-04

收稿日期：2021-09-05

作者简介：蔡海涛（1975-），本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：本文系2020年福建省电化教育馆课题《基于动态数学技术环境高中实验教学的实践研究》（课题编号闽教电馆KT2042）研究成果.

一、试题呈现

（2020年高考全国卷Ⅰ·理20）已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程;

（2）证明：直线CD过定点.

本题第（1）小题以椭圆为载体，考查椭圆基本量的运算，求标准方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想.

第（2）小题以探索性问题为载体，考查椭圆的简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查直观想象、数学运算等核心素养.

二、解法赏析

（1）由已知可得A-a，0，Ba，0，G0，1，则AG=（a，1），GB=（a，-1），故AG·GB=a2-1=8，从而a2=9.所以E的方程为x29+y2=1.

（2）解法一 （设点）：设P6，y0，则直线AP的方程为y=y09x+3.

由x29+y2=1，y=y09x+3，整理得y20+9x2+6y20x+9y20-81=0，解得x=-3或x=-3y20+27y20+9.

将x=-3y20+27y20+9代入直线y=y09x+3，得y=6y0y20+9，所以点C的坐标为-3y20+27y20+9，6y0y20+9.

同理可得点D的坐标为3y20-3y20+1，-2y0y20+1

故直线CD的方程为

y--2y0y20+1=6y0y20+9--2y0y20+1-3y20+27y20+9-3y20-3y20+1x-3y20-3y20+1，

整理得y+2y0y20+1=8y0y20+369-y04x-3y20-3y20+1=8y063-y20x-3y20-3y20+1，即y=4y033-y20x+2y0y20-3=4y033-y20x-32.

所以直线CD过定点32，0.

点评 本解法从设点P的坐标出发，得到直线AP的方程，然后与椭圆方程联立，由于知道一个交点（点A）的坐标，……