摘 要：本文主要通过实际案例，研究了同构法在不等式恒成立中的应用.

关键词：同构法;导数;不等式;恒成立

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0074-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：杨瑞强（1979-），男，湖北省黄冈人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，可构造函数，利用函数的单调性进行处理，找这个函数模型的方法就是同构法.例如若F（x）≥0能等价变形为能等价变形为能等价变形为fg（x）≥fh（x），然后利用f（x）的单调性（如递增），再转化为g（x）≥h（x）.在遇到“指数函数和对数函数”同时出现的试题时，我们可考虑采用“同构”的方法变形转化，构造函数，从而达到化难为易，删繁就简的功效.

一、积型aea≤blnb同构

三种同构途径：①同左aea≤（lnb）elnb，构造函数f（x）=xex;②同右ealnea≤blnb，构造函数f（x）=xlnx;③取对数a+lna≤lnb+ln（lnb），构造函数f（x）=x+lnx.

例1 若对任意的实数x≥1，不等式ekx-lnxk≥0恒成立，则正数k的取值范围是.

解析 因为x≥1，k>0，所以ekx-lnxk≥0kekx≥lnx（kx）ekx≥xlnx.

解法1 （構造同左aea≤（lnb）elnb形式）（kx）ekx≥xlnx（kx）ekx≥（lnx）elnx.

令f（t）=tet，t≥0，f ′（t）=（t+1）et>0，即f（t）在[0，+SymboleB@）上单调递增，则x≥1，ekx-lnxk≥0f（kx）≥f（lnx）kx≥lnxk≥lnxx.

令g（x）=lnxx，x≥1，g′（x）=1-lnxx2，10，x>e时g′（x）<0，所以g（x）在（1，e）上递增，在（e，+SymboleB@）上递减，x=e时g（x）max=1e，即k≥1e.故正数k的取值范围是1e，+SymboleB@.

解法2 （构造同右ealnea≤blnb形式）（kx）ekx≥xlnxekxlnekx≥xlnx.

令f（x）=tlnt，t≥1，f ′（t）=1+lnt>0，即f（x）在[1，+SymboleB@）上单调递增，则x≥1，ekx-lnxk≥0f（ekx）≥f（x）ekx≥xk≥lnxx.下同解法1.

解法3 （取对数a+lna≤lnb+ln（lnb）形式）（kx）ekx≥xlnxkx+ln（kx）≥lnx+ln（lnx）.

令f（x）=t+lnt，t>0，f ′（x）=1+1t>0，即f（t）在（0，+SymboleB@）上单调递增，则x≥1，ekx-lnxk≥0f（kx）≥f（lnx）kx≥lnxk≥lnxx. 下同解法1.

评析 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需要对已知的指对式进行“改头换面”，常见的同构变形有：x=elnx=lnex，xlnx=elnx·lnx， xex=elnx+x=ex·lnex，exx=ex-lnx等. 在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知.

二、商型eaa≤blnb（或aea≤lnbb）同构

三种同构途径：①同左eaa≤elnblnb（或aea≤lnbelnb），构造函数f（x）=exx（或f（x）=xex）;②同右ealnea≤blnb（或lneaea≤lnbb），构造函数f（x）=xlnx（或f（x）=lnxx）;③取对数a-lna≤lnb-ln（lnb）（或lna-a≤ln（lnb）-lnb），构造函数f（x）=x-lnx（或f（x）=lnx-x）.

例2 若对任意的实数0

解析 由已知可得a>0.

当a≥1时，不等式左边小于0，右边大于0，不等式显然成立.

当0……