蒋敏 李鲜

摘 要：在解析几何中，圆是一类重要的考察载体.通过以圆为背景的最值问题的解题教学，能够很好的培养学生独立思考能力、自主探究能力、精准解题能力，达到“通一题、会一类、透一片”，进一步渗透学科核心素养.

关键词：多维度;巧解;圆;最值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0062-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：蒋敏（1983.11-），男，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

李鲜（1986.3-），女，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：本文系四川省数学会第一届数学教育规划立项课题“校本教研在推动数学教学中的作用”（项目编号2020SXHJY010）阶段性研究成果.[FQ）]

圆是一类特殊的几何图形，它形式简洁，图形优美，生活中随处可见，具有高度的对称性.以圆为背景，考察最大值、最小值，取值范围等等，是解析几何中常见的一类题型.它涉及的学科知识内涵丰富，解题构思常常巧妙灵活，能够很好的锻炼学生的数学思维能力，进一步渗透数学学科核心素养.在课堂教学中，结合学生实际，教师积极引导，学生自主探究，以微专题的形式，多维度巧解以圆为背景的最值问题，让解题教学的育人目标能够顺利达成、落地生根.

一、以斜率、截距、距离的几何意义为视角巧解最值

例1 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求：

（1） yx的最大值和最小值;

（2 ） y-x的最小值;

（3） x2+y2的最大值和最小值.

图1

解析 （1）如图1，方程x2+y2-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.

设yx=k，即y=kx，则圆心（2，0）到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切，

斜率取得最大、最小值.由|2k-0|k2+1=3，解得k2=3，所……