摘 要：椭圆的参数方程形式简单，利用它可以使有些难解的问题简单化，但椭圆中的离心角与旋转角两个概念易混淆，容易产生错误.本文通过一道题目为例，辨识椭圆的离心角与旋转角.

关键词：椭圆;参数方程;离心角;旋转角

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0034-03

收稿日期：2021-09-05

作者简介：林国红（1977-），男，广东省佛山人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

在一次调研考试中，发现学生对一道解析几何题的两种不同解法分辨不清，说明学生对相关概念模糊，认识不到位，从而产生错误，并且这种错误在学生中普遍存在，非常有代表性.笔者对此特意成文，供大家参考.

一、试题的呈现与解答

题目 已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点到左顶点的距离为1+2，且椭圆Γ的离心率为22.

（1）求椭圆Γ的方程;

（2）过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆Γ交于A，C与B，D，求四边形ABCD的面积的最小值.

（1）x22+y2=1，过程略.

（2）解法1 根据题意，可知四边形ABCD的面积S=12|AC|·|BD|.

当直线AC与BD中有一条的斜率不存在时，可得

|AC|，|BD|分别是椭圆的长轴长与短轴长，所以S=12×22×2=22.

当直线AC与BD的斜率都存在时，可设直线AC的方程为y=kx，则直线BD的方程为y=-1kx.

由y=kxx22+y2=1，得（2k2+1）x2-2=0，于是xA+xC=0，xAxC=-22k2+1，所以|AC|=1+k2×（xA+xC）2-4xAxC=22（k2+1）2k2+1.

同理，可得|BD|=22（k2+1）k2+2.

所以S=12|AC|·|BD|=12×22（k2+1）2k2+1×22（k2+1）k2+2=4（k2+1）2（2k2+1）（k2+2）=42k4+5k2+2k4+2k2+1=42+1k2+1k2+2≥42+12+2=83，

当且仅当k=±1时取等号.

综上，四边形ABCD的面积的最小值为83.

解法2 由题可得AC⊥BD，且四个顶点在椭圆x22+y2=1上，可设A（2cosα，sinα），B（2cos（α+90°），sin（α+90°）），其中0≤α<2π.

则四边形ABCD的面积

S=12|AC|·|BD|=4×12|OA|·|OB|=22cos2α+sin2α×2cos2（α+90°）+sin2（α+90°）=

2（1+cos2α）（1+sin2α）=22+14sin22α≥22，当且仅当sin2α=0，即α=0或α=π时等号成立.所以，四边形ABCD的面积的最小值为22.

评注 问题（2）中的两种解法，是学生解答中的普遍做法，太多数学生认为解法2比解法1更为简单，容易求最值，同时认为解法1也正确，所以无法判断那一种解法有误.