黄逸飞 郭述锋

摘 要 线性代数课程是工科专业的一门重要基础课，随着计算软件的发展，线性代数课程在实际应用中越来越重要，传统的教学方式难于满足学生后续专业课程学习的需要。文章以应用型本科高校的工科专业为例，对线性代数课程融入教学案例进行了探讨，针对行列式、矩阵、线性方程组的求解、矩阵特征值与特征向量、二次型等重要知识点，给出了相关教学案例，并探讨了如何将案例自然地融入教学过程中。

关键词 代数课程 教学案例

中图分类号：G424                                   文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2021.03.057

Some Teaching Cases of Linear Algebra

HUANG Yifei， GUO Shufeng

（School of Science， Guilin University of Aerospace Technology， Guilin， Guangxi 541004）

Abstract Linear algebra course is an important basic course for engineering majors. With the development of computing software， linear algebra course is more and more important in practical application. Traditional teaching methods are difficult to meet the needs of students' subsequent professional courses. Taking the engineering specialty of application-oriented universities as an example， this paper discusses the integration of linear algebra into teaching cases. According to the determinant， matrix， the solution of linear equations， matrix eigenvalue and eigenvector， quadratic form and other important knowledge points， it gives the relevant teaching cases， and discusses how to integrate the cases into the teaching process naturally.

Keywords Algebra course; teaching cases

0 引言

随着人工智能和大数据技术的发展，线性代数课程已经成为大学基础课程中的一门网红课，其作用和地位更加突出。传统的教学模式以单一的传授知识为主，而线性代数内容比较抽象，概念多，符号多，对应用型本科专业的学生来讲感觉比较枯燥，学习效果不好。在教学中，融入合适的案例，通过建立模型，培养学生发现问题、解决问题的能力，是提高教学效果的一个好方法。

1 教学案例

1.1 行列式的教学案例

一般的线性代数教材中，行列式是第一个概念，这个概念的定义比较抽象，烦琐，学生往往不知道定义一个如此复杂而奇怪的概念有什么用，可以用案例让学生体会这个工具对计算的便利。

案例1：用2阶行列式表示平行四边形的面积和3阶行列式表示平行六面体的体积：2阶行列式的绝对值等于平面上以、（）两向量为临边的平行四边形的面积，3阶行列式的绝对值等于以为临边的平行六面体的体积。

在教学过程中对2阶行列式的应用可略证，首先（）、（）两个向量构成的矩形显然成立，其次一般的2阶行列式化成对角型的行列式就可以了，在这个过程中绝对值保持不变，主要理由可利用图1就可以讲清楚了。

至于3阶行列式的应用是高等数学中三个向量的混合积，如果有些高等数学教材没有涉及，也可以简单的说明。

案例2：克莱姆法则是行列式的一个漂亮的应用，该法则利用行列式解决了一类线性方程组的求解问题，并且得到了一个程序化的优美公式，课堂教学中要引导学生思考，以解决问题为驱动，让学生学会提炼问题、分析问题、解决问题的科学思维方式。

1.2 矩阵的教学案例

矩阵是线性代数课程的核心工具，在各种科技论文和应用中，均有矩阵的影子，所以说矩阵的应用是非常广泛的。

案例1：利用可逆矩阵设置密码

将字母和数字建立对应规则，常见的可以将26个字母和1到26这26个数字建立一一对应来进行编码，也可以用ASCII进行编码，也可以用其他的形式来编码，比如用偶数来编码，即：

对“GUI LIN SHAN SHUI JIA TIAN XIA”進行编码，对应的向量为：（14，42，18，24，18，28，38，16，2，28，38，16，42，18，20，18，2，40，18，2，28，48，18，2），对这24个变量，利用一个6行4列的矩阵来存储：

原信息矩阵：，

设置加密矩阵

用得到加密信息矩阵，

需要解密的时候，用就可以得到原信息矩阵了，C的可逆矩阵通过计算软件可以算出。

该案例教学过程中要选矩阵要选有意义的矩阵，融入课程思政元素，比如需要加密的信息选了“桂林山水甲天下”，加密矩阵选的数字也是具有纪念意义的。1921是中国共产党成立的年份，2021年将是中国共产党成立100周年，引导出“两个一百年的奋斗目标”这一课程元素;0773是桂林的区号，桂林航天工业学院坐落在风景优美的桂林，引导出“爱国爱家爱桂林，讲德讲孝讲文明”的课程思政元素;1979是桂林航天工业学院成立之年，2012是桂林航天工业学院升格为本科院校的年份，这些具有特殊意义的数字融入课堂，增加学生的爱国、爱家、爱校的情怀。

在该案例教学中，一定要用到Matlab软件，经过矩阵运算的学习，同学们肯定知道这些复杂的数字如果用笔来计算，那是很烦琐的，用计算软件，输入以后，一两行命令，只要一回车就出结果了，让学生体会科学计算的魅力。

在该案例教学中，可以进一步设问，编码的方式是不是唯一？还有什么其他的形式？如果是中文，能不能也可以用来编码呢？比如我们可以选一本文字比较多的书，一个中文字可以对应一个3维的向量，第一个变量是该字在书中的页码，第二个变量是该字在这一页的行数，第三个变量是该字在这一行中的第几个，这样一个中文字就对应了一个3维变量，选一个相应阶数的可逆矩阵作为加密矩阵，就可以做一套编码系统了。这个编码系统有点类似于电视剧《潜伏》中的桥段，学生比较有共鸣。这个题目教师稍微点拨，可以留给学生作为一个课外作业。

1.3 线性方程组的案例

线性方程组的应用范围包括自然科学和社会科学的方方面面，具体应用中往往变量和方程都比较多，比如哈佛大学教授Wassily Leontief将美国经济分解为500個部门，列出了一个包含500个方程和500个未知数的线性方程组，当初非常困难的解出了这个线性方程组，并于1973年获得了诺贝尔经济学奖。随着计算机技术的发展，现在解大规模线性方程组有了很大的进步，从而促使了线性方程组的应用具有广泛性。在课堂教学中，受学时和学情等限制，不可能来解大规模的线性方程组，但我们可以通过加工案例，将这种建模的思想传递给学生。这方面的案例很多，比如著名的“投入-产出”模型，化学方程式的配平，电路中的电流，城市规划和道路规划模型。

案例1：图2是某地的公路交通网络的流量图，假设所有道路都是按箭头单向行驶的，路上不能停车，数字表示每小时进出的交通网的车辆数，在这一个小时中有2300辆车进入交通网络中，求出图中各路段的车流量。

考虑通过A，B，C，D，E五个结点的车流量，流进结点的车辆等于流出结点的车流量，可以得到以下线性方程：

解得该线性方程组

是自由未知量

这个解不是流量的全部解，需要满足1，2，3，4，5，6，交通警察可以该方程组解的情况进行调度，比如值过大，可以考虑改变x6所在线路的方向，避免出现堵车现象。

1.4 矩阵的特征值与特征向量的案例

马尔科夫链在许多学科如化学、商业、工程、生物、物理等学科都有应用，主要描述现状态数据依赖上一个状态的数据。

案例1 某地的城市与郊区之间人口有互相移动，每年有5%的农村人口流动到城市，有3%的城市人口流动到郊区，2019年该城市人口为40万，郊区人口60万，求2020年该地城市人口和农村人口数量，2021年？2022年？………

构造一个人口流动矩阵，其中0.95表示农村95%的人口留在农村，0.03表示从城市流出3%人口到农村，0.05表示从农村流出5%人口到城市，0.97表示城市97%的人口留在城市。为了便于计算，假设2019年城市人口占40%，农村人口占60%，表示经过年农村人口占的比例，表示经过年城市人口占的比例，设：，2020年农村人口是58.2万，城市人口是41.8万，2021年：，2021年农村人口是56.5万，城市人口是43.5万，类似的办法，可以求出后面每一年的人口比例。

再分析：

，要求n年过后该地人口的比例，关键在求出矩阵A的n次方。可以通过求出矩阵A的特征值和特征向量，通过将矩阵A对角化来处理。

1.5 二次型的应用案例

案例1：（瑞利原理）元二次型在限制条件下，该二次型的最大值等于矩阵A的最大特征值，最小值等于矩阵A的最小特征值，并且取到最值时等于该特征值对应的单位特征向量。

例：已知，求，使得二次型取得最大值？

在高等数学中，介绍了一元函数的和二元函数求极值的方法，但对于三元函数，教材并未提到，虽然构造拉格朗日函数，通过条件极值可以完成部分，但也只是求出可能是极值点，并没有一个进一步判断的条件。

案例2：对n元函数，假设的某个领域具有一、二阶连续偏导，构造Hessian矩阵：

，

显然该矩阵是一个对称矩阵，求n元函数的极值分三步，第一步：求解由全部一阶偏导等于零组成的方程组，得出驻点;第二步：将驻点代入Hessian矩阵，得出一个对应的数值矩阵;第三步：判断该数值矩阵的正定性：如果是正定矩阵，那么就是极小值点，就是极小值;如果是负定矩阵，那么就是极大值点，就是极大值;如果是不定矩阵，那么就不是极值点，就不是极值。

例：求四元函数的极值。

2 结论

本文列举的线性代数课程教学中的案例，适用于应用型本科高校的课堂教学，这些案例能反映线性代数课程应用的广泛性。由于线性代数普遍学时少，所以在教学中要把这些案例用多媒体教学，计算要用Matlab等计算软件实现。

基金项目：桂林航天工业学院2018年度教学改革研究项目基金资助（项目编号：2018JB12）;广西高等教育本科教学改革工程项目一般项目A类基金资助（项目编号：2019JGA334）

参考文献

[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 王正盛.中外线性代数教材的比较与探讨[J].大学数学，2014，25（1）：200-203.

[3] 韩冰，李洁，杨威，高淑萍.线性代数教学改革中的几点探讨[J].高等数学研究，2013，16（4）：73-74.