朱亚倩

(北方民族大学 数学与信息科学学院，银川 750030)

1 与平行有关的存在性问题

(1)

总结反思：有关是否存在一点使得直线与平面之间满足平行关系的探索性问题，在解答时，先假设存在这样的点，再建设空间直角坐标系，设出该点的坐标，由直线与平面的平行关系，转化为直线的方向向量和平面的法向量的垂直关系。利用向量坐标运算建立所求点坐标的方程。若方程有解，则点存在，否则，点不存在。

2 与垂直有关的存在性问题

例2 如图2，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直。AB∥CD∥EF,AB⊥AD，CD=DA=AF=FE=2，AB=4。

(2)

(1)求证：DF∥平面BCE；(2)求二面角C-BF-A的余弦值；(3)线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由。

解：(1)证明：因为CD∥EF，且CD=EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE。因为DF不属于平面BCE，所以DF∥平面BCE。

(2)在平面ABEF内，过A作Az⊥AB。因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，所以AD⊥AB，AD⊥Az，Az⊥AB。以A为坐标原点AD，AB，Az所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz。

总结反思：利用向量法求立体几何中有关垂直的存在性问题，探索在某平面内是否存在某点满足垂直关系，通常先假设存在，然后再引入参数，用向量方法处理，由条件与结论列出等式，再解出参数，思路简单，解法固定，操作方便，注意在将点的坐标设为(x,y,z)时，要结合图形的几何特征尽量减少x，y，z中未知数的个数。

3 与夹角有关的存在性问题

例3 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为2，BM=MC，试问：棱CC1上是否有一点N，使得异面直线AB1和MN所成的角的度数为45°？

(3)

4 与距离有关的存在性问题

(4)