崔 军

(山东省桓台第一中学,山东 淄博 256400)

木板和滑块组成的相互作用系统称为板块物理场景,该模型涉及静摩擦力、滑动摩擦力的转化、方向判断等静力学知识,解题时需要用到相互作用、能量和动量等观念的知识,该场景属于多研究对象的多物理过程问题,备受高考命题者的青睐.[1]利用假设法可以突破问题的难点和易错点,利用图像法会将抽象和复杂的问题直观化,化难为易,让问题顺利解决.

板块模型问题可以分为两种情景: (1) 木板和滑块初速度为0的情景; (2) 木板和滑块的初速度不为零的情景.如图1所示,当木板和滑块初速度为零时,先通过假设法判断摩擦力的情况,即先假设两个物体保持共同的加速度运动,然后判断两者间的摩擦力是否能实现此运动.若能,两者间的摩擦力是静摩擦力;若不能,两者间的摩擦力为滑动摩擦力.当两者有相对运动时,两者间一定是滑动摩擦力,通过受力分析确定两者的运动情况.此类问题的易错点是当两者的速度相同或一者的速度减到零时,它们所受的摩擦力情况可能会发生突变,此时同样可用假设法判断摩擦力的情况.然后作出它们的v-t图像,使物体的运动变得直观.另外借助图像可以清晰的判断速度相同或减为零时的位置,避免分析出错.接下来通过全国卷几道高考压轴题来详细分析.

图1

1 木板和滑块初速度为0的情景

图2

解析: (1) 此题首先需要判断A、B是否有相对滑动,这个问题可以通过假设法来判断.假设A和B以共同的加速度下滑,由牛顿第二定律2mgsinθ-2μ2mgcosθ=2ma共,得a共=2 m/s2.对A分析得mgsinθ-f=maA,若f=μ1mgcosθ时,可得A加速度的最小值aA=3 m/s2>a共.所以A和B一定有相对滑动.对B受力分析得mgsinθ+μ1mgcosθ-2μ2mgcosθ=maB,解得aB=1 m/s2.

图3

图4

点评： 此题的第一个关键点是判断初始状态时两者的运动情况,先假设两者以共同速度下滑,求出它们的共同加速度,因A的最小加速度大于共同加速度,所以两者发生了共同滑动.第二个关键点是当B的速度减为零时,B将如何运动.因B所受到的滑动摩擦力大于其重力沿斜面方向的分力,所以B将保持静止.若明确这两个关键点,此题将迎刃而解.另外,通过作出v-t图像,使得A和B的运动情况变得非常直观,计算过程也大大简化.

2 木板和滑块的初速度不为0的情景

2.1 一者静止,另一个有初速度的情景

例2.(2013年新课标Ⅱ卷第25题)一长木板在水平地面上运动,在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上,以后木板运动的v-t图像如图5所示.己知物块与木板的质量相等,物块与木板间及木板与地面间均有摩擦.物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且物块始终在木板上.重力加速度大小g取10 m/s2.求: (1) 物块与木板间;木板与地面间的动摩擦因数.(2) 从t=0时刻到物块与木板均停止运动时,物块相对于木板的位移的大小.

图5

解析: (1) 因两者初始的速度不同,则它们会发生相对滑动,设物块与木板间的动摩擦因数为μ1,木板与地面间的动摩擦因数为μ2,对物块来说,μ1mg=ma1;对木板来说,μ1mg+2μ2mg=ma2.图像中的拐点是木板运动状态变化的时刻,即两者达到共同速度的时刻,所以物块的运动如图6所示.从图中数据可得a1=2 m/s2和a2=8 m/s2.解得μ1=0.2和μ2=0.3.

图6

图7

点评： 此题的第1个关键点是两者达到共同速度后的运动情况,通过假设法得出两者会继续发生相对滑动,且物块所受摩擦力方向与之前相反.第2个关键点是木板速度减到零后的运动情况,即图像与横轴相交后将不再运动.最后借助作出的图像可以比较方便的计算出两者的相对位移.

2.2 两者都有初速度的情景

例3.(2015年新课标全国Ⅰ卷第25题)一长木板置于粗糙水平地面上,木板左端放置一小物块;在木板右方有一墙壁,木板右端与墙壁的距离为4.5 m,如图8(a)所示.t=0时刻开始,小物块与木板一起以共同速度向右运动,直至t=1 s时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短).碰撞前后木板速度大小不变,方向相反;运动过程中小物块始终未离开木板.已知碰撞后1 s时间内小物块的v-t图线如图8(b)所示.木板的质量是小物块质量的15倍,重力加速度大小g取10 m/s2.求: (1) 木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2; (2) 木板的最小长度; (3) 木板右端离墙壁的最终距离.

图8

图9

图10

点评： 此题的第一个关键点是小物块的速度减到零后,因木板还在运动,所以小物块会反向加速.第二个关键点是两者达到共同速度后,通过假设法判断出它们将共同减速直到停止.

2.3 木板上有多个滑块的情景

例4.(2017年新课标Ⅲ卷第25题)如图11所示,两个滑块A和B的质量分别为mA=1 kg和mB=5 kg,放在静止于水平地面上的木板的两端,两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5;木板的质量为m=4 kg,与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1.某时刻A、B两滑块开始相向滑动,初速度大小均为v0=3 m/s.A、B相遇时,A与木板恰好相对静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取重力加速度大小g=10 m/s2.求: (1)B与木板相对静止时,木板的速度; (2)A、B开始运动时,两者之间的距离.

图11

解析: (1) 因初始A、B与木板有相对运动,则它们所受的摩擦力方向比较容易确定.由牛顿第二定律,对A、B来说,加速度a1=μ1g=5 m/s2,对木板满足μ1mBg-μ1mAg-μ2(mA+mB+m)g=ma2,得a2=2.5 m/s2.当v0-a1t1=a2t1时,得t1=0.4 s和v1=1 m/s，如图12所示.

图12

图13

点评： 木板上有多个滑块的问题与一个滑块的处理方法是一样的,当木板与其中一个滑块达到共同速度后,通过假设法可以判断两者之后的运动情况.当木板和其中一个滑块保持共同速度运动时,“三体”问题又变成了“两体”问题,即前面讨论的情景.

综上分析,对于板块模型问题总结如下: (1) 首先需要根据初始条件,判断木板和滑块的受力情况.(2) 然后根据受力情况分析其运动情况,并作出它们的v-t图像.(3) 当两者速度相等或一者速度减到零,需要重新判断摩擦力的情况.因为最有可能突变也是最为隐蔽的力就是摩擦力.[2](4) 根据新的受力情况分析两者的运动情况,并作出它们的v-t图像.尽管这类题目比较复杂,只要充分利用初始条件,抓住问题的关键点和易错点,借助合理的解题方法,定能有效破解此类问题.